（01）
１ （１） Ａ∨ Ｂ 仮定
２ （２） ～Ａ＆～Ｂ 仮定
３ （３） Ａ 仮定
２ （４） ～Ａ ＆除去
２３ （５） ～Ａ＆ Ａ ３４＆導入
３ （６）～（～Ａ＆～Ｂ） ２６背理法
７ （７） Ｂ 仮定
２ （８） ～Ｂ 仮定
２ ７ （９） ～Ｂ＆ Ｂ ７８＆導入
７ （ア）～（～Ａ＆～Ｂ） ２９背理法
１ （イ）～（～Ａ＆～Ｂ） １３６７ア∨導入
ウ （ウ） ～Ａ 仮定
エ（エ） ～Ｂ 仮定
ウエ（オ） ～Ａ 仮定
ウエ（カ） ～Ａ＆～Ｂ ウエ
１ ウエ（キ）～（～Ａ＆～Ｂ）＆
～Ａ＆～Ｂ イカ＆導入
１ ウ （ク） ～～Ｂ エキ背理法
１ ウ （ケ） Ｂ ウ二重否定
１ （コ） ～Ａ→ Ｂ オケ条件法
（02）
１ （１）～Ａ→ Ｂ 仮定
２（２）～Ａ＆～Ｂ 仮定
２（３）～Ａ ２＆除去
２（４） ～Ｂ ２＆除去
１２（５） Ｂ １３ＭＡＡ
１２（６） ～Ｂ＆Ｂ ４５＆導入
１ （７） ～～Ｂ ２６背理法
１ （８） Ｂ ７二重否定
１ （９） Ａ∨ Ｂ ８∨導入
（03）
１ （１）～Ａ→ Ｂ 仮定
２ （２）～Ａ 仮定
３（３） ～Ｂ 仮定
１２ （４） Ｂ １２ＭＡＡ
１２３（５）～Ｂ＆ Ｂ ３４＆導入
１ ３（６）～～Ａ ２５背理法
１ ３（７） Ａ ６二重否定
１ （８）～Ｂ→ Ａ ３７条件法
（04）
１ （１）～Ｂ→ Ａ 仮定
２ （２）～Ｂ 仮定
３（３） ～Ａ 仮定
１ ３（４） Ａ １２ＭＡＡ
１２３（５）～Ａ＆ Ａ ３４＆導入
１ ３（６）～～Ｂ ２５背理法
１ ３（７） Ｂ ６二重否定
１ （８）～Ａ→ Ｂ ３７条件法
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① Ａ∨Ｂ＝ＡかＢである。
② ～Ａ→Ｂ＝ＡでないならばＢである。
③ ～Ｂ→Ａ＝ＢでないならばＡである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
① ＡかＢである。従って、ＡでないならばＢである。然るに。Ａでない。従って、Ｂである。
② ＡかＢである。従って、ＢでないならばＡである。然るに。Ｂでない。従って、Ａである。
といふ「推論」は、二つとも、「正しい」。
従って、
（06）により、
（07）
① ＡかＢが犯人である。Ａは犯人ではない。従って、Ｂが犯人である。
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふ「推論」は、二つとも、「正しい」。
然るに、
（08）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、
③ Ａが犯人である。
といふのであれば、
② 犯人はＡである。
然るに、
（09）
② 犯人はＡである。
③ Ａが犯人である。
といふのであれば、
④ Ａ以外は犯人でない。
従って、
（09）により、
（10）
② 犯人はＡである。
③ Ａが犯人である。
④ Ａ以外は犯人でない。
に於いて、
②＝③＝④ である。
然るに、
（11）
「逆」には、
（１）真でないときと、
（２）真であるときがあります。
そこで（１）と（２）をひっくるめて、「逆は必ずしも真ならず」といいます（山下正男、論理的に考えること、1985年、１３・１４頁）。
従って、
（11）により、
（12）
① ＡはＢである。
からと言って、
② ＢはＡである。
とは、限らない。
従って、
（10）（12）により、
（13）
① ＡはＢである。
② ＢはＡである。
③ ＡがＢである。
④ Ａ以外はＢでない。
に於いて、必ずしも、
①＝② ではないが、必ず、
②＝③＝④ である。
従って、
（13）により、
（14）
① Ａ is Ｂ.
② Ｂ is Ａ.
③ ＡがＢである。
④ No other but Ａ is Ｂ.
に於いて、必ずしも、
①＝② ではないが、必ず、
②＝③＝④ である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
① Ａ is Ｂ.
② Ｂ is Ａ.
③ ＡがＢである。
④ No other but Ａ is Ｂ.
に於いて、
①＝②＝④ であるならば、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（16）
① Socrates is the philosopher who taught Plato.
② The philosopher who taught Plato is Socrates.
④ No other but Socrates is the philosopher who taught Plato.
に於いて、
①＝②＝④ である。
従って、
（15）（16）により、
（17）
① Socrates is the philosopher who taught Plato.
② The philosopher who taught Plato is Socrates.
③ Socrates が the philosopher who taught Plato である。
④ No other but Socrates is the philosopher who taught Plato.
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（18）
In non-mathematical contexts, identity is expressed usually by 'is' ; but since the verb 'to be' has many sense, we must indicate first in which sense 'is' expresses identity
Consider the six English sentences below
（１）Socrates is a philosopher.
（２）Paris is a city.
（３）Courage is a virtue.
（４）Socrates is the philosopher who taught Plato.
（５）Paris is the capital of France.
（６）Courage is the virtue I admire most.
（E.J.レモン 著, Begining Logic, 1971, p160）
つぎの６つのに日本語の文を考えてみよう。
（１）ソクラテスは哲学者である。
（２）パリは都市である。
（３）勇気は美徳である。
（４）ソクラテスはプラトンを教えた哲学者である。
（５）パリはフランスの首都である。
（６）勇気は私が最も賛美する徳である。
（１）―（３）は単純な主語・述語の文である。特定の対象（ソクラテス、パリ、勇気）がある性質（哲学者であること、都市であること、徳であること）を持つと言われるのである。従って、（１）―（３）における「である」のことを、述語の作用する「である」（'is' of predication）とよぶ。この「である」の用法は、（４）―（６）における「である」と比較対照される必要がある。ここではその意味はむしろ、「同じ対象である」（「対象」という語をある広い、中立的な意味に用いて）である。この「である」をわれわれは同一性の「である」（'is' of identity）として区別する。同一性の「である（is）」を識別するための助けとなることがらはつぎの通りである。（ａ）「である」を「同じ対象である」によって置き換えることができるか。もしできるならば、その「である（is）」は同一性の「である（is）」である。もしできなけれが、そうでない。（ｂ）「である」の両側にならぶ語句は、近似的に同じ意味を持ちつつ入れ換えることができるか。もしできるならば、その「である」は同一性の「である（is）」である。そうでなければ、そうでない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０４・５頁）
従って、
（17）（18）により、
（19）
（４）ソクラテスはプラトンを教えた哲学者である。
（５）パリはフランスの首都である。
（６）勇気は私が最も賛美する徳である。
に於ける、
（４）ソクラテスはプラトンを教えた哲学者である。
（５）パリはフランスの首都である。
（６） 勇気は私が最も賛美する徳である。
は、三つとも、同一性の「である」であって、
（４）ソクラテスがプラトンを教えた哲学者である。
（５）パリがフランスの首都である。
（６）勇気が私の最も賛美する徳である。
に於ける、
（４）ソクラテスが
（５）パリが
（６）勇気が
は、三つとも、同一性の「が」である。
１ （１） Ａ∨ Ｂ 仮定
２ （２） ～Ａ＆～Ｂ 仮定
３ （３） Ａ 仮定
２ （４） ～Ａ ＆除去
２３ （５） ～Ａ＆ Ａ ３４＆導入
３ （６）～（～Ａ＆～Ｂ） ２６背理法
７ （７） Ｂ 仮定
２ （８） ～Ｂ 仮定
２ ７ （９） ～Ｂ＆ Ｂ ７８＆導入
７ （ア）～（～Ａ＆～Ｂ） ２９背理法
１ （イ）～（～Ａ＆～Ｂ） １３６７ア∨導入
ウ （ウ） ～Ａ 仮定
エ（エ） ～Ｂ 仮定
ウエ（オ） ～Ａ 仮定
ウエ（カ） ～Ａ＆～Ｂ ウエ
１ ウエ（キ）～（～Ａ＆～Ｂ）＆
～Ａ＆～Ｂ イカ＆導入
１ ウ （ク） ～～Ｂ エキ背理法
１ ウ （ケ） Ｂ ウ二重否定
１ （コ） ～Ａ→ Ｂ オケ条件法
（02）
１ （１）～Ａ→ Ｂ 仮定
２（２）～Ａ＆～Ｂ 仮定
２（３）～Ａ ２＆除去
２（４） ～Ｂ ２＆除去
１２（５） Ｂ １３ＭＡＡ
１２（６） ～Ｂ＆Ｂ ４５＆導入
１ （７） ～～Ｂ ２６背理法
１ （８） Ｂ ７二重否定
１ （９） Ａ∨ Ｂ ８∨導入
（03）
１ （１）～Ａ→ Ｂ 仮定
２ （２）～Ａ 仮定
３（３） ～Ｂ 仮定
１２ （４） Ｂ １２ＭＡＡ
１２３（５）～Ｂ＆ Ｂ ３４＆導入
１ ３（６）～～Ａ ２５背理法
１ ３（７） Ａ ６二重否定
１ （８）～Ｂ→ Ａ ３７条件法
（04）
１ （１）～Ｂ→ Ａ 仮定
２ （２）～Ｂ 仮定
３（３） ～Ａ 仮定
１ ３（４） Ａ １２ＭＡＡ
１２３（５）～Ａ＆ Ａ ３４＆導入
１ ３（６）～～Ｂ ２５背理法
１ ３（７） Ｂ ６二重否定
１ （８）～Ａ→ Ｂ ３７条件法
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① Ａ∨Ｂ＝ＡかＢである。
② ～Ａ→Ｂ＝ＡでないならばＢである。
③ ～Ｂ→Ａ＝ＢでないならばＡである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
① ＡかＢである。従って、ＡでないならばＢである。然るに。Ａでない。従って、Ｂである。
② ＡかＢである。従って、ＢでないならばＡである。然るに。Ｂでない。従って、Ａである。
といふ「推論」は、二つとも、「正しい」。
従って、
（06）により、
（07）
① ＡかＢが犯人である。Ａは犯人ではない。従って、Ｂが犯人である。
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふ「推論」は、二つとも、「正しい」。
然るに、
（08）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、
③ Ａが犯人である。
といふのであれば、
② 犯人はＡである。
然るに、
（09）
② 犯人はＡである。
③ Ａが犯人である。
といふのであれば、
④ Ａ以外は犯人でない。
従って、
（09）により、
（10）
② 犯人はＡである。
③ Ａが犯人である。
④ Ａ以外は犯人でない。
に於いて、
②＝③＝④ である。
然るに、
（11）
「逆」には、
（１）真でないときと、
（２）真であるときがあります。
そこで（１）と（２）をひっくるめて、「逆は必ずしも真ならず」といいます（山下正男、論理的に考えること、1985年、１３・１４頁）。
従って、
（11）により、
（12）
① ＡはＢである。
からと言って、
② ＢはＡである。
とは、限らない。
従って、
（10）（12）により、
（13）
① ＡはＢである。
② ＢはＡである。
③ ＡがＢである。
④ Ａ以外はＢでない。
に於いて、必ずしも、
①＝② ではないが、必ず、
②＝③＝④ である。
従って、
（13）により、
（14）
① Ａ is Ｂ.
② Ｂ is Ａ.
③ ＡがＢである。
④ No other but Ａ is Ｂ.
に於いて、必ずしも、
①＝② ではないが、必ず、
②＝③＝④ である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
① Ａ is Ｂ.
② Ｂ is Ａ.
③ ＡがＢである。
④ No other but Ａ is Ｂ.
に於いて、
①＝②＝④ であるならば、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（16）
① Socrates is the philosopher who taught Plato.
② The philosopher who taught Plato is Socrates.
④ No other but Socrates is the philosopher who taught Plato.
に於いて、
①＝②＝④ である。
従って、
（15）（16）により、
（17）
① Socrates is the philosopher who taught Plato.
② The philosopher who taught Plato is Socrates.
③ Socrates が the philosopher who taught Plato である。
④ No other but Socrates is the philosopher who taught Plato.
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（18）
In non-mathematical contexts, identity is expressed usually by 'is' ; but since the verb 'to be' has many sense, we must indicate first in which sense 'is' expresses identity
Consider the six English sentences below
（１）Socrates is a philosopher.
（２）Paris is a city.
（３）Courage is a virtue.
（４）Socrates is the philosopher who taught Plato.
（５）Paris is the capital of France.
（６）Courage is the virtue I admire most.
（E.J.レモン 著, Begining Logic, 1971, p160）
つぎの６つのに日本語の文を考えてみよう。
（１）ソクラテスは哲学者である。
（２）パリは都市である。
（３）勇気は美徳である。
（４）ソクラテスはプラトンを教えた哲学者である。
（５）パリはフランスの首都である。
（６）勇気は私が最も賛美する徳である。
（１）―（３）は単純な主語・述語の文である。特定の対象（ソクラテス、パリ、勇気）がある性質（哲学者であること、都市であること、徳であること）を持つと言われるのである。従って、（１）―（３）における「である」のことを、述語の作用する「である」（'is' of predication）とよぶ。この「である」の用法は、（４）―（６）における「である」と比較対照される必要がある。ここではその意味はむしろ、「同じ対象である」（「対象」という語をある広い、中立的な意味に用いて）である。この「である」をわれわれは同一性の「である」（'is' of identity）として区別する。同一性の「である（is）」を識別するための助けとなることがらはつぎの通りである。（ａ）「である」を「同じ対象である」によって置き換えることができるか。もしできるならば、その「である（is）」は同一性の「である（is）」である。もしできなけれが、そうでない。（ｂ）「である」の両側にならぶ語句は、近似的に同じ意味を持ちつつ入れ換えることができるか。もしできるならば、その「である」は同一性の「である（is）」である。そうでなければ、そうでない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０４・５頁）
従って、
（17）（18）により、
（19）
（４）ソクラテスはプラトンを教えた哲学者である。
（５）パリはフランスの首都である。
（６）勇気は私が最も賛美する徳である。
に於ける、
（４）ソクラテスはプラトンを教えた哲学者である。
（５）パリはフランスの首都である。
（６） 勇気は私が最も賛美する徳である。
は、三つとも、同一性の「である」であって、
（４）ソクラテスがプラトンを教えた哲学者である。
（５）パリがフランスの首都である。
（６）勇気が私の最も賛美する徳である。
に於ける、
（４）ソクラテスが
（５）パリが
（６）勇気が
は、三つとも、同一性の「が」である。