複素数は体論 数学の疑問(2)

代数学入門は、以前に流し読み程度しかしませんでした。

＜体の定義＞
１．(a + b) + c = a + (b + c)
２．a + 0 = 0 + a = a
３．a + (-a) = 0
４．a + b = b + a
５．(ab)c = a(bc)
６．a1 = 1a = a
７．aa^(-1) = 1
８．ab = ba
９．(a + b)x = ac + bc, a(b + c) = ab + ac

環とは違うのは、８．が成立する部分だと思います。
z = x + iy, w = s + it とすると、上記の１．～９．が成り立つのは分かります。

しかし、i^i = = exp(i*logi) = exp{i(ln1 + πi/2 + 2nπi) = exp(-π/2 - 2nπ)
この i^i = exp(-π/2 - 2nπ) も体論して考えられるのでしょうか？

よく、複素数は体をなしていると書かれているので、よく理解が出来ません。
これが、素朴な疑問です。

複素数は多価関数 数学の疑問(1)

複素関数論を読んでみて、素朴な疑問があります。

z = x + yi = r(cosθ+i*sinθ) と極表示されます。
そうすると、z はθ = φ + 2nπ と表示されます。
z は n価関数ではないのでしょうか？

本では、0 ≦ θ ＜ 2π として、1価関数として理論を展開をしています。
なぜ、θ = φ + 2nπ として理論を展開をしないのでしょうか？
少し不思議に感じました。

収束半径 r の開円板{z | |z| ＜ R} と定義しています。
結局は、極表示で考えれば、|z| = r なので、r ＜ R より理論を展開しています。
θ = φ + 2nπ は、ほとんど理論には無関係に定理が書かれています。

私の素朴な疑問です。