大学入試問題

2009年の最新の問題より

＜学習院大学（理学部）＞
（問題）
関数 y = x - (sin(x) + √3・cos(x)) の区間 -π ≦ x ≦ π における最大値、最小値と、それらを与える x の値を求めよ。

===== 数学Ⅲ（最大値・最小値） =====
（解答）
f(x) = x - (sin(x) + √3・cos(x)) とおくと
f'(x) = 1 - (cos(x) - √3・sin(x)) = 1 - 2・cos(x + π/3)
f'(x) = 0 を解くと、-2π/3 ≦ x + π/3 ≦ 4π/3 より
x + π/3 = -π/3, π/3
∴ x = -2π/3, 0
（増減表）
x: -π・・・-2π/3（極大値）・・・0（極小値）・・・π
f(π) = √3 + π
f(-π) = √3 - π
f(0) = -√3
f(-2π/3) = √3 - 2π/3

よって、
f(-π) - f(0) = 2√3 - π ＞ 0
f(π) - f(-2π/3) = 5π/3 ＞ 0

x = π で最大値 √3 + π
x = 0 で最小値 -√3
をとる。 ...Ans


（定理の解説）
＜三角関数の合成＞
a・sin(x) + b・cos(x) = √(a² + b²)・cos(x - α)

＜三角関数の微分＞
(sin(x))' = cos(x)
(cos(x))' = -sin(x)

＜関数の極大・極小＞
x = a で連続な関数 f(x) について
f(x) が x = a において極大または極小となり、しかも x = a において微分可能
⇒ f'(a) = 0


＜東京理科大学（理学部・数理情報科学）＞
（問題）
対数を自然対数とする。　数列 {x_n} (n = 1, 2, 3, ...) を
∫[0 x_n] 1/cos(x)・dx = n・log√3
により定める。　ただし、0 ≦ x_n ＜ π/2 とする。　次の問いに答えよ。
(1) x₁ を求めよ
(2) sin(x_n) を求めよ
(3) 曲線 y = 1/cos(x) と x軸および２直線 x = 0、x = x_n で囲まれた図形を x軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を V_n とする。　V_n を求めよ。
(4) (3) で求めた V_n に対して、lim [n → ∞] V_n+1/V_n を求めよ
(5) (3) で求めた V_n に対して、
不等式 V_n+2 -2V_n+1 + V_n ＞ 0 (n = 1, 2, 3, ...)
が成り立つことを証明せよ。

（解答）
(1) ∫[0 x_n] 1/cos(x)・dx = ∫[0 x_n] cos(x)/cos²(x)・dx = ∫[0 x_n] cos(x)/(1 - sin²(x))・dx
sin(x) = t とおくと
dt/dx = cos(x)
x:0 → x_n
t:0 → sin(x_n)
であるから
∫[0 x_n] cos(x)/(1 - sin²(x))・dx
= ∫[0 x_n] 1/(1 - t²)・dt/dx・dx
= ∫[0 sin(x_n)] 1/(1 + t)(1 - t)・dt
= 1/2・∫[0 sin(x_n)] (1/(1 + t) + 1/(1 - t))dt
= 1/2・[log(1 + t) - log(1 - t)] [0 sin(x_n)]
= 1/2・log(1 + sin(x_n))/(1 - sin(x_n)) ・・・①
したがって n = 1 のとき条件より
1/2・log(1 + sin(x₁))/(1 - sin(x₁)) = log√3
(1 + sin(x₁))/(1 - sin(x₁)) = 3
sin(x₁) = 1/2
0 ≦ x₁ ＜ π/2 より x₁ = π/6 ... Ans

(2) ①より1/2・log(1 + sin(x_n))/(1 - sin(x_n)) = n・log√3
(1 + sin(x_n))/(1 - sin(x_n)) = 3ⁿ
(3ⁿ + 1)・sin(x_n) = 3ⁿ - 1
よって、 sin(x_n) = (3ⁿ - 1)/(3ⁿ + 1) ... Ans

(3) V_n = π∫[0 x_n] 1/cos²x・dx
= π[tan(x)] [0 x_n]
= πtan(x_n)
0 ≦ x_n ＜ π/2 であるから
cos(x_n)
= √(1 - sin²(x_n))
= √(1 - ((3ⁿ - 1)/(3ⁿ + 1))²)
= √(4・3ⁿ/(3ⁿ + 1)²)
= 2√3ⁿ/(3ⁿ + 1)
したがって
V_n
= π・sin(x_n)/cos(x_n)
= π・(3ⁿ - 1)/(3ⁿ + 1)・(3ⁿ + 1)/2√3ⁿ
= (3ⁿ - 1)・π/2√3ⁿ ... Ans

(4) V_n+1/V_n
= (3ⁿ⁺¹ - 1)・π/2√3ⁿ⁺¹・2√3ⁿ/(3ⁿ - 1)・π
= (3 - 1/3ⁿ)/(√3(1 - 1/3ⁿ))
であるから、
lim [n → ∞] V_n+1/V_n = 3/√3 = √3 ... Ans

(5) V_n+2 -2V_n+1 + V_n
= (3ⁿ⁺² - 1)・π/2√3ⁿ⁺² - 2・(3ⁿ⁺¹ - 1)・π/2√3ⁿ⁺¹ + (3ⁿ - 1)・π/2√3ⁿ
= π/6√3ⁿ・{(3ⁿ⁺² - 1) - 2√3・(3ⁿ⁺¹ - 1) + 3・(3ⁿ - 1)}
= π/6√3ⁿ・{(3 - 2√3 + 1)・3ⁿ⁺¹ - (1 - 2√3 + 3)}
= (2 - √3)(3ⁿ⁺¹ - 1)・π/3√3ⁿ ＞ 0
よって、n = 1, 2, 3, ... のとき
V_n+2 -2V_n+1 + V_n ＞ 0 が成り立つ。　Q.E.D

（定理の解説）
(1) 三角関数の不定積分は、sin(x) = t とおくと、分数関数に変化する
普通に計算をして、n = 1 より比較をすればよい。
(3) y = f(x) 区間[a, b]より、 x軸を回転する体積V は
V = π∫y²dx
他は、式が複雑に見えるが、普通に計算をして求めればよい。