センターの数学_01

数学Ⅰ・A
第１問
[1]
A = 6x² + 5xy + y² + 2x - y - 20
※x または y でまとめる。　

ここでは、xでまとめる
A = 6x² + (5y + 2)x + y² - y - 20
A = 6x² + (5y + 2)x + (y - 5)(y + 4)
※2(y - 5) + 3(y + 4) = 2y - 10 + 3y + 12 = 5y + 2 より（たすき掛け）
A = (2x + y + 4)(3x + y - 5) ... Ans

ここでは、yでまとめる
A = y² + (5x - 1)y + 6x² + 2x - 20
A = y² + (5x - 1)y + 2(3x² + x - 10)
A = y² + (5x - 1)y + 2(3x - 5)(x + 2)
※2(x + 2) + (3x - 5) = 2x + 4 + 3x - 5 = 5x - 1 より（たすき掛け）
A = (y + 2(x + 2))(y + 3x - 5)
A = (y + 2x + 4)(y + 3x - 5)
A = (2x + y + 4)(3x + y - 5) ... Ans

x = -1
y = 2 / (3 - √7) = 2(3 + √7) / (9 - 7) = 3 + √7 (有理化する)

A = (-2 + 3 + √7 + 4)(-3 + 3 + √7 - 5)
A = (5 + √7)(√7 - 5) = (√7 + 5)(√7 - 5)
A = 7 - 25 = -18

[2]
p: a² ≧ 2a + 8 ⇔ a² - 2a - 8 ≧ 0 ⇔ (a - 4)(a + 2) ≧ 0 ⇔ a ≦ -2、4 ≦ a ⇔ a ≦ -2または4 ≦ a
q: a ≦ -2または4 ≦ a
r: a ≧ 5

(1)
q ⇒ p ならば必要条件、p ⇒ q ならば十分条件、p ⇔ q ならば必要十分条件
q は p であるための必要十分条件です。 ... Ans

(2)
条件 z の否定を￢zと表す。 (￢は論理記号では正式な記号です)
※ネットでは、上のバーを表現出来ないので、￢ (not:ノット)を使用しました。

￢q: -2 ＜ a ＜ 4
￢r: a ＜ 5

q かつ ￢r : a ≦ -2または4 ≦ a ＜ 5
q または ￢r : すべての実数
￢q かつ ￢r : -2 ＜ a ＜ 4
￢q または ￢r : a ＜ 5

「命題:A ならば B」 とは、BはAを含むという意味です
命題:p ならば(q または ￢r)は真である ... Ans
命題:(q かつ ￢r)ならばpは真である ... Ans