センターの数学_02

数学Ⅰ・A
第２問
y = 2x² - 4(a + 1)x + 10a + 1 ・・・①
※y = ax² + bx + c ⇒ y = a(x - p)² + q に変形する (平方完成)
y = 2(x² - 2(a + 1)x) + 10a + 1
y = 2(x² - 2(a + 1)x + (a + 1)²) -2(a + 1)² + 10a + 1
y = 2(x - (a + 1))² - 2(a² + 2a + 1) + 10a + 1
y = 2(x - (a + 1))² - 2a² + 6a - 1
頂点の座標は((a + 1), - 2a² + 6a - 1) ... Ans

(1)
グラフG が x 軸と接するのは、「y = ax² + bx + c の判別式D = 0」 または 「y = a(x - p)² + q の q = 0」の場合です。

=== 判別式の場合 ===
y = ax² + bx + c ⇒ 判別式D = b² - 4ac
y = ax² + 2bx + c ⇒ 判別式D = b² - ac
判別式D = b² - ac
判別式D = (2(a + 1))² - 2(10a + 1)
判別式D = 4a² + 8a + 4 - 20a - 2
判別式D = 4a² - 12a + 2
判別式D = 2(2a² - 6a + 1)

2a² - 6a + 1 = 0
=== q = 0 の場合 ===
※q = 0 と同一になる　-2a² + 6a - 1 = -(2a² - 6a + 1)

ax² + bx + c = 0 の解 x = (-b ±√(b² - 4ac)) / 2a
ax² + 2bx + c = 0 の解 x = (-b ±√(b² - ac)) / a
x = (-b ±√(b² - ac)) / a より
a = (3 ±√(3² - 2)) / 2 = (3 ±√7) / 2 ... Ans

(2) 最小値 m = -2a² + 6a - 1
※２次関数の a ＞ 0 のときの t ≦ x ≦ u のときに頂点の座標(p, q)が 最小値 q となるためにはt ≦ p ≦ u となる
-1 ≦ x ≦ 3 のときに最小値になるのは、-1 ≦ a + 1 ≦ 3 ⇔ -2 ≦ a ≦ 2 ... Ans

y(x) = 2x² - 4(a + 1)x + 10a + 1 とすると

a ＜ -2 のとき x = -1 を代入して、
m = y(-1)
m = 2 + 4(a + 1) + 10a + 1 = 14a + 7 ... Ans

2 ＜ a のとき x = 3 を代入して
m = y(3)
m = 2・9 - 12(a + 1) + 10a + 1 = -2a + 7 ... Ans

a ＜ -2 のとき、m = 14a + 7 より a = -2 のとき m = -28 + 7 = -21 より m ＜ -21 (１次関数の性質より)
-2 ≦ a ≦ 2 のとき、m = -2a² + 6a - 1 = -2(a² - 3a + 9/4) + 9/2 - 1 = -2(a - 3/2)² + 7/2 より m ≦ 7/2 (２次関数の性質より)
2 ＜ a のとき、m = -2a + 7 より a = 2 のとき m = -4 + 7 = 3 より m ＜ 3 (１次関数の性質より)

=== -2 ≦ a ≦ 2のとき ===
-2a² + 6a - 1 = 7/9
-18a² + 54a - 9 = 7
-18a² + 54a - 16 = 0
9a² - 27a + 8 = 0
(3a - 1)(3a - 8) = 0
-2 ≦ a ≦ 2 より a = 1/3 ... Ans

=== 2 ＜ aのとき ===
-2a + 7 = 7/9
-18a + 63 = 7
-18a = -56
a = 56/18 = 28/9 ... Ans