センターの数学_03

数学Ⅰ・A
第３問
△ABC、AB = 1、BC = √7、AC = 2

∠CAB = θ とすると

余弦定理より
BC² = AB² + AC² - 2・AB・AC・cosθ
7 = 1 + 4 - 2・1・2・cosθ
4cosθ = -2
cosθ = -(2 / 4) = -(1 / 2)
θ = 120° ... Ans


２等分線より
AB : AC = BD : CD ⇒ 1 : 2 = BD : CD より
BD = √7 / 3、CD = 2√7 / 3 ... Ans

円周角の性質より
弦ECにおいて、∠CAE = ∠CBE(∠DBE) = 60° ... Ans

円に内接する四角形より
∠A + ∠E = 180° より
∠E(∠BEC) = 180°- ∠A = 180°- 120° = 60° ... Ans

よって、△BCEは正三角形なので、
BC = BE = √7 ... Ans

余弦定理より
DE² = BD² + BE² - 2・BD・BE・cos60°
DE² = (7 / 9) + 7 - 2・(√7 / 3)・(√7)・(1 / 2)
DE² = (7 / 9) + 7 - 7 / 3 = 7((1 / 9) + 1 - (1 / 3)) = 7((1 + 9 - 3) / 9) = 49 / 9
DE ＞ 0 より
DE = 7 / 3 ... Ans

正弦定理より
a / sinA = 2Rより
ED / sin(∠DBE) = 2O'B
2O'B = (7 / 3) / sin60°= (7 / 3) / (√3 / 2) = (7 / 3)・(2 / √3)
O'B = (7 / 3)・(1 / √3) = (7 / 3)・(√3 / 3) = 7√3 / 9 ... Ans

△O'BEは O'B = O'E = 7√3 / 9、BE = √7 の２等辺三角形より
∠EBO' = θ とすると
cosθ = (BE / 2) / O'B = (√7 / 2) / (7√3 / 9) = (9√7) / (2・7・√3) = (9 / √3)・(√7 / 2・7) = 3√3・(1 / 2√7) = 3√3 / 2√7 (1 / cos²θで使用するため)
tan²θ = 1 / cos²θ - 1 = (2√7 / 3√3)² - 1 = 28 / 27 - 1 = (28 - 27) / 27 = 1 / 27
tanθ ＞ 0 より
tanθ = 1 / √27 = 1 / 3√3 = √3 / 9 ... Ans


※数学が苦手な方のために。
ゼロ点を避ける方法、√の部分に数字を入れるところがあります。
初めに、√7 と書いてあるので、√の部分に 7 を入れておけば、ゼロ点は避けられます。
本道ではありませんが、そんな方法もあります。