◎sin（サイン）の由来

◎sin（サイン）の由来

★３角法で基本となるのは正弦関数 sin である

○３角法の起源について、はっきりしたことはわかっていないが、天文学の計算の必要から生まれたとされる

・最古のものは、バビロニアの天文学上の目的で、３角法の前身のようなものが存在した可能性が考えられる

　バビロニア天文学は、紀元前５世紀頃には体系化されたと推定されている
　バビロニア数学では60進法の採用が見られ、天文計算は60進法で行われた
　バビロニア数学では、位取りによる数表記が発明されたが、「ゼロ」にあたる記号がなかったため完全な位取り記数法ではなく、数表記にあいまいさがあった

　「黄道12宮」という概念はバビロニアで生まれた
　バビロニアで円周が360度と定義された
　360度の天体図を30度ずつの「黄道12宮」に分けたものに基づいて１年を360日と決めていた

　現代で時間や角度の単位で60進法を使っているのは、バビロニア数学の名残りである

●ヒッパルコス（紀元前150年頃）

　円の角とそれに対する弦の長さの問題の研究を始めたのは、アレクサンドリアのヒッパルコスであるとされている

・ギリシア（アレクサンドリア）のヒッパルコスは、鋭角に対する正弦表（円の中心角に対してその弦の長さを計算した表）を作った
　ヒッパルコスの実際の表は残っておらず、その一部がプトレマイオスの「アルマゲスト」（２世紀）に載っている（1/2度ごとの弦の長さが与えられている）

●インドの３角法

　アレクサンドリアで、ヒッパルコス、メネラオス、プトレマイオスなどの天文学者によって３角法の基礎が築かれ、インドに伝えられた

　インドでの初期の３角法は、天文学に必要な１分野だった
　インド天文学は当時の最先端の天文学だった

・アールヤバタ（476年生まれ）の「アールヤバティーヤ」
　古い天文書「シッダーンタ」の結果を修正して体系化したもの
　数学を扱った第２章で、半弦表を用いた計算によって３角法を導入している
　アールヤバタは円周率の近似値として3.1416を用いた

・ヴァラーハミヒラ（505～587年頃）の「スールヤ・シッダーンタ」
　３角法についての解説がある
　３角法の３個の関数ジュヤ（半弦、またはインドの正弦）、コジュヤ（余弦）、ウトゥクラマジュヤ（正接）が与えられている

　正弦は半径１の円の中心角xに対する弦の長さであった

　その半分、半弦の長さが現代での正弦sin xに相当する

・ブラフマグプタ（598年生まれ）の「ブラフマースプタ・シッダーンタ」
　正弦表で与えられている角度の中間にあたる角度の正弦を得る方法を述べた

・マーダヴァ（1340～1425年頃）
　マーダヴァは３角関数の無限級数を、ニュートンより約300年前に発見したかもしれない
　正弦級数および余弦級数が初めてヨーロッパに現れたのは、1676年に王立協会総裁オルデンバーグにニュートンが出した手紙の中である

　マーダヴァの正弦級数および余弦級数は、天文計算用の精度の高い正弦・余弦表を作るために用いられたのであろう

○cos
　cos（余弦）は、補足の正弦（sinus complement）を短くしたco-sinusからきたようである
　余弦にcosを使ったのは、16世紀イギリスのグンデルである

●アラビアの３角法

　インドの３角法はアラビアに伝えられ、アラビア経由でヨーロッパへ入る

　３角関数がアラビアに伝えられたのは、８世紀にアッバース朝（749～1258年）の第２代カリフ　アル・マンスールの宮廷を訪れたインドの使節団がもたらした天文書によるとされている

○正接（tan）と余接（cot）の起源はアラビアである

　タンジェント（tan）をつけ加えたのは、９世紀のアラビアの天文学者アル・ハースィブである
　アラビアの天文学者は天文計算のために、インドの正弦表より精密な正弦表の必要性を感じるようになる
　アル・ハースィブは１度の間隔で、10進法で５位まで正確な正弦表と正接表を作った

●サインsin の語源

　インドの数学者たちは、３角関数の研究に半弦（現代での正弦）をよく用いていた

　インドの３角法の半弦を表すサンスクリットはjyardha（ジャヤールダー）またはardhajiva（アルダージーヴァ）であるが、短縮されてjya（ジュヤ）またはjiva（ジーバ）となった

　jivaがアラビアに入ったとき、jiba（ジーバ）となるのだが、アラビア語の母音省略のルールによってjibと書かれていた
　アラビア文献の翻訳者だったチェスターのロバートが、それをjaib（ジャイブ）だと思い込んでしまった

　アラビア語のジャイブには、女性の衣服での胸もとの折り返しの意味がある

　ジャイブは12世紀にラテン語のsinus（シーナス）に訳された

　「シーナス」はローマ人の衣服のトーガを「たたむ」「胸」「入江」「曲線」などいろいろな意味を持っていた

　それが現在のsin（サイン）となったわけである

○以上、おもに「非ヨーロッパ起源の数学」ジョージ・G・ジョーゼフ、講談社ブルーバックス
「なっとくする数学記号」黒木哲徳、講談社
「天文学の誕生」三村太郎、岩波書店
によります

◎エウクレイデス（ユークリッド）の「原論」

◎エウクレイデス（ユークリッド）の「原論」

★エウクレイデス（ユークリッドは英語読み）の「原論（ストイケイア）」

○中学校の数学で初等幾何学を学ぶが、命題や定理に証明を与えていくことで、数学における論証のスタイルを学ぶ機会になっている
　これは、紀元前３世紀に成立したとされるエウクレイデスの「原論」の伝統を現在に受け継ぐものである

　二千数百年前にすでに、正しいことを読者に納得させる「証明」による体系的な学問ができていて、論証のスタイルが確立されていた

○エウクレイデスの「原論」のオリジナルの書物はパピルスに書かれたが、現存していない

　パピルスは劣化しやすいので、腐食する前に写本として伝えられる必要がある
　現存する最古のエウクレイデスの「原論」の写本（断片）は、エジプトのオクシリンコスで発見されたもの（羊皮紙に書かれていた）で紀元100年ごろのものとされている
　現存するエウクレイデスの「原論」の写本には内容の異なる異本があり、後の時代に多くの追加や変更があったと考えられる

　現在のエウクレイデスの「原論」の各国語訳は、デンマークの古典文献学者ヨハン・ハイベアが1883年から1888年の間に出版したギリシア語校訂版に基づいている（ハイベア版）
　これは、19世紀初頭にフランスのペイラールが発見したローマのヴァチカン図書館所蔵の９世紀の写本（P写本）をもとにして異本と比較して作られたものである

○エウクレイデスの伝記的な情報はほとんどない
　エウクレイデスは前３世紀半ば頃の人であろう

●エウクレイデスの「原論」では、最初に定義と公理を述べ、続いて命題、定理とその証明を述べるという論証のスタイルをとっている

★しかし、エウクレイデスは論証数学の創始者ではないと考えられる

●エウクレイデス以前にすでに数学の定理集としての「原論」があった

　プロクロス（410年～485年）の「原論第１巻の注釈」によれば、最初に「原論」を編集したのは、前440年頃の人キオスのヒポクラテスである
　このヒポクラテスこそが、論証数学の創始者、「証明」の発明者であったと考えられる

　エウクレイデス以前の「原論」は失われてしまっていてその内容の詳細はわからないが、エウクレイデスの時代までに、「原論」は何度も編集しなおされ、洗練されていった


○エウクレイデスの「原論」は第１巻から第13巻まであり、その大まかな内容は
・第１巻～第６巻　平面幾何学
・第７巻～第９巻　整数（自然数）論
・第10巻　通約不能量（現代的には無理数の理論）
　通約不能量とは、今日の言葉でいう「無理数」のことである
・第11巻～第12巻　立体幾何学、面積と体積
・第13巻　正多面体

●エウクレイデスの「原論」は当時の数学の基本的知識を集めて編集したもので、幾何学に限定されない、総合的な書である

○「幾何」という語は、もともと数学全体を指す中国の数学用語だった
　しかし後に「幾何」の語の意味は、今日の幾何学を意味する、図形についての数学に変化した

　したがって、今となっては、エウクレイデスの「原論」は「幾何学原論」ではない


●「公理（要請）」

・「公理」は証明なしで承認することを要請する主張である

　なぜ、証明なしで承認することを要請する「公理」が必要になるかと言えば、命題は何かの根拠Aを使って証明する
　するとその根拠Aは根拠Bを使って証明する必要がある
　根拠Bはさらに根拠Cを使って証明する必要がある
　……となって、どこまでいってもきりがないからどこかで「証明なしで承認する」として断ち切る必要がある

●現代数学においては、「公理」は「自明な真理」ではなく、理論を展開するために設定しておく、出発点となる基本的前提、仮定である

●「原論」第１巻にある第５公準（後に「平行線の公準（公理）」と呼ばれる）

現代的な表現では「与えられた直線外の１点を通ってそれに平行な直線は、ただ１本しかない」
・「平行線の公理」は他の公理（公準）とくらべて内容が複雑だったので他の公理（公準）から証明しようと長らく試みられてきた

　19世紀になって、第５公準もその否定も、他の公理（公準）からは「証明できない」ということが明らかになった

　第５公準は「自明な真理」ではなかった

　「平行線の公理」を否定した公理をもとにして、「非ユークリッド幾何学」が生まれた


●「原論」はイスラーム帝国のアッバース朝時代の９世紀ごろからアラビア語に翻訳され、12世紀にアラビア語からラテン語に翻訳されヨーロッパに伝わった

　８世紀から９世紀にかけて、カリフ ハールーン・アッラシードの時代にアル・ハッジャージ・イブン・ユースフが「原論」の何巻かを訳し、さらにアル・マムーンの時代に改訳した
　ほかにも、第10巻は10世紀の後半にナジーフ・イブン・ユムンが訳した

★古代ギリシアの科学を受け継いだのはイスラーム世界であり、科学の枠組みを生み出したのは、ヨーロッパではなくイスラーム世界である

○アルコール（alcohol）やアルカリ（alkali）は、アラビア語起源の語である

　「アル（al）」はアラビア語の定冠詞である

ほかに「アル」のつく語は、たとえば
錬金術　alchemy（アルケミー）
牽牛星　altair（アルタイル）

○代数学　algebla（アルジェブラ）

アルジェブラの語はムハムマド・イブン・ムーサー・アル・フワーリズミーの数学の著書「キターブ・アル・ムフタサル・フィ・ヒサーブ・アル・ジャブル・ワ・ル・ムカーバラ（ジャブルとムカーバラの計算の抜書き）」から出ている

　「ジャブルとムカーバラの算法」は２次方程式を、移項するなどして標準形（アル・フワーリズミーが３つの形式に分けた）に整理する操作を意味すると考えられている
　この書がラテン語に訳され、書名の「アル・ジャブル」がヨーロッパでアルジェブラとなった

　アルジェブラの語はアラビア語からきているが、代数学はアラビアで生まれたわけではない

　また、アラビアの代数学はアル・フワーリズミー１人によって発達したのではない

○インドの算術がイスラーム世界に取り入れられ、数字はアラブ人のあいだではインド数字と呼ばれたが、イスラーム世界で使われていた数字がヨーロッパに伝わってアラビア数字と呼ばれるようになった

・以上
「科学の真理は永遠に不変なのだろうか」ペレ出版
「ユークリッド『原論』とは何か」斎藤　憲、岩波書店
「数学の創造者」B.アルトマン、シュプリンガー・フェアラーク東京
「公理と証明」彌永昌吉、赤攝也、ちくま学芸文庫
「アラビア科学の話」矢島祐利、岩波新書
などによります