三相交流の電力計算

１．まえがき

　三相交流の無効電力を求める問題があった。これをフェザー法で求める。

２．計算

　スター結線において、相電圧、相電流を Va, Vb, Vc, Ia, Ib, Ic 、力率を cosθ とする。
　　　　V=|Va|=|Vb|=|Vc| , I=|Ia|=|Ib|=|Ic|
　ここで、Va=V exp(jα) 、負荷を Z とすると、 Va/Ia=Z=|Z|exp(jθ) , V/|Z|=I なので、
　　　　Ia=Va/Z=V exp(jα)/( |Z|exp(jθ) )=I exp(j(α-θ))
　となり
　　　　VaIa*=VI exp(jα)exp(-j(α-θ))=VI exp(jθ)
　となる。また、a=exp(-j2π/3) とすると
　　　　Vb=aVa , Vc=a²Va , Ib=a Ia , Ic=a² Ia , a³=1
　となる。

　このとき、①から、有効、無効電力、P, Q は
　　　　P=3Re(VaIa*)=3VIRe(exp(jθ))=3VI cosθ
　　　　Q=3Im(VaIa*)=3VIIm(exp(jθ))=3VI sinθ



３．線間電圧をを使った有効電力の測定

　線間電圧は
　　　　1-a=1-(-1/2-j(√3)/2)=(√3)exp(jπ/6) , (a²-a)(a²)*=1-a*=(√3)exp(-jπ/6)
　なので
　　　　Vab=Va-Vb=(1-a)Va , Vcb=Vc-Vb=(a²-a)Va
　　　　Pab=Re{Vab Ia*}=Re{(1-a)VaIa*}=Re{(√3)VIexp(jπ/6)exp(jθ)}=(√3)VIcos(θ+π/6)
　　　　Pcb=Re{Vcb Ia*}=Re{(a²-a)Va(a²)*Ia*}=Re{(√3)VIexp(-jπ/6)exp(jθ)}
　　　　　  =(√3)VIcos(θ-π/6)
　となる。したがって
　　　　Pab+Pcb=(√3)VI {cos(θ+π/6)+cos(θ-π/6)}=(√3)VI 2cos(π/6)cosθ=3VI cosθ
　となって、この系によって、有効電力が測定できる。

４．線間電圧をを使った無効電力の測定

 　　　　a²-a=-1/2+j(√3)/2-(-1/2-j(√3)/2)=j√3
　　　　(1-a)(a²)*=(1-a)a=a-a²=-1/2-j(√3)/2-(-1/2+j(√3)/2)=-j√3
　なので
　　　　Qa=Re{Vbc Ia*}=Re{-(a²-a)VaIa*}=Re{ -(√3)VI jexp(jθ) }=(√3)VIsinθ
　　　　Qc=Re{Vab Ic*}=Re{(1-a)Va(a²)*Ia*}=Re{ (√3)VI (-j)exp(jθ) }=(√3)VIsinθ
　したがって
　　　　(√3)Qa=(√3)Qc=3VI sinθ
　となって、無効電力が測定できる。

以上