x^2+ax+b=0の根が|x|>1を満たすときのa,bの範囲を求む

あるサイトに下記の質問があった。ヒントに従うと解けたが、面白いので紹介する。

［問］x²+ax+b=0が実数解を持つ。それらが|x|＞1であるときの条件を求め、それを満たす点a,bを
　　ab平面に図示せよ(a,bは実数)。

[解]　解を　x₁=(-a+√(a²-4b))/2 , x₂=(-a-√(a²-4b))/2　とします。

1. まず、a²-4b≧0 です。b≦a²/4 ・・・・①
　ですから、等号の放物線の下側となります。

2. x₁>1 , x₂>1 のとき
　-a+√(a²-4b)＞2 , -a-√(a²-4b)＞2 これを並び替えると
　　　√(a²-4b)＞2+a , -√(a²-4b)＞2+a

　このとき、√(a²-4b)≧ -√(a²-4b) は自明だから、後者だけ成立すればよい。
　まず、左辺は0以下だから 2+a＜0、つまり、a＜-2 ・・・②
　上の両辺が負であることに注意（不等号の方向）して２乗すると
　　　a²-4b＜4+4a+a² → b＞-a-1・・・・③
　これで、①②③から図のように、領域ABCが指定できた。ABの線は含まれるが、BCの線とB点は
　含まれない。

3. x₁＜-1 , x₂＜-1 のとき
　　　-a+√(a²-4b)＜-2 , -a-√(a²-4b)＜-2
　これも上の2項と同様に議論できるが簡便のため、両辺に(-1)を掛けて変形すると
　　　-(-a)-√((-a)²-4b)＞2 , -(-a)+√((-a)²-4b)＞2
　となって、２項の条件で、a→(-a)としたものと同じだから、2項の結論の領域とb軸に対称な
　a>2 側にある領域 DEFとなる。

4. x₁＞1 , x₂＜-1 のとき
　-a+√(a²-4b)＞2 , -a-√(a²-4b)＜-2 後者を変形して
　　　-a+√(a²-4b)＞2 , a+√(a²-4b)＞2

(1) a≧0 のとき・・・④
　　a+√(a²-4b)≧-a+√(a²-4b) は自明なので -a+√(a²-4b)＞2 だけ
　満たせばよい。2+a＞0なので、-aを移行して両辺を２乗すると
　　　-4b＞4+4a → b＜-a-1・・・・⑤
　したがって、①④⑤により、領域GHIが求まる。

(2) a＜0 のとき・・・・⑥
　同様に、a+√(a²-4b)＞2 だけ満たせばよい。2-a＞0 なので、aを移項して、2乗すると
　　-4b＞4-4a → b＜a-1・・・・⑦
　したがって、①⑥⑦により、領域GHJが求まる。

　(1)(2)まとめて、IHJの領域がもとまり、IHJのオレ線は含まれない。

5. x₁＜-1 , x₂＞1 のとき
　　-a+√(a²-4b)＜-2 , -a-√(a²-4b)＞2 前者の両辺に(-1)を掛けると
　　a-√(a²-4b)＞2 , -a-√(a²-4b)＞2 となる。さらに
　　a≧a-√(a²-4b)＞2 , -a≧-a-√(a²-4b)＞2 つまり a＞2かつ、a＜-2

　となり、このような aは存在しない。以上ですべての条件と領域が求められた。

6. なお、B,E点で、直線は放物線の接線となっている。それは1項で　b=a²/4, b=-a-1 からbを
　消すと、(a+2)²=0となって、交点が重根となることからも明らか。


以上