複素数a,bに関する不等式 |(|a|-|b|)/(1-|ab|)|≦|(a-b)/(1-a*b)

１．はじめに

　複素数a,bについて、|a|≦1,|b|≦1 としたとき、
　　|(|a|-|b|)/(1-|ab|)|≦|(a-b)/(1-a*b)|・・・・①
　を証明せよという問題があった。ここで、「*」は複素共役であり、当然、
　　|ab|≠1 かつ a*b≠1・・・・②
　とする。

２．計算

　z,w を複素数とすると |z|≦|w|⇔|z|²≦|w|² ・・・③
　である（ |w|²-|z|²=(|w|+|z|)(|w|-|z|) だから）。

　a=(a₁,a₂) , b=(b₁,b₂) とすると
　　(|a|-|b|)²=|a|²+|b|²-2|ab|, 　(1-|ab|)²=1+|ab|²-2|ab|

　|z|²=zz* を使って
　　|a-b|²=(a-b)(a-b)*=(a-b)(a*-b*)=|a|²+|b|²-(ab*+a*b) = |a|²+|b|²-2(a₁b₁+a₂b₂)
　　|1-a*b|²=(1-a*b)(1-a*b)*=(1-a*b)(1-ab*) = 1+|ab|²-(ab*+a*b)=1+|ab|²-2(a₁b₁+a₂b₂)
　③より、①を２乗して、上の結果を使うと
　(|a|²+|b|²-2|ab|)/(1+|ab|²-2|ab|) ≦ {|a|²+|b|²-2(a₁b₁+a₂b₂)}/{1+|ab|²-2(a₁b₁+a₂b₂)}
　　　　　・・・・④
　を証明すればよい。

　ここで、x,y,u,v を実数として
　　x=|a|²+|b|², y=1+|ab|², u=2|ab|, v=2(a₁b₁+a₂b₂)
　とおくと④は
　　(x-u)/(y-u)≦(x-v)/(y-v)・・・・⑤
　となる。元の計算から。⑤の各項は元々、実数の２乗だから、０以上の数であり、(x-u),(x-v)≧0
　となり、また、②から、(y-u),(y-v)>0 となる。だから、⑤の分母を払って、移項計算すると
　　(y-x)(u-v)≧0・・・⑥
　となり、これを証明すればよい。まず、

　　ｙ-ｘ＝1+|ab|²-(|a|²+|b|²)=(1-|a|²)(1-|b|²)≧0
　である。ここで、|a|,|b|≦1 を使った。つぎに

　　u=2|ab|=2√{(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²)} , v=2(a₁b₁+a₂b₂)

　だから、シュワルツの不等式によって
　　u≧v つまり、u-v≧0・・・・⑦

　となって、⑥が証明された。後は逆順に辿ると⑤、④、そして③を使って、①が証明された。

３． 補足

　なお、与式の等号成立は⑦から u=v となり、この式を展開するとシュワルツの不等式の条件から、
　a=tb (tは0以上の任意の実数)の時、あるいは⑥の y=x のとき、つまり、　|a|=1 または |b|=1
　の時（つまり、a₁²+a₂²=1 または b₁²+b₂²=1 ）である。

　さらに、①において、右辺分母の (1-a*b) は (1-ab*) でもよい。
　さらに、当然、②は
　　(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²)≠1 かつ （a₁b₁+a₂b₂≠1 または a₁b₂≠a₂b₁）
　となる。

以上