級数Σ( (logn)/n )² の収束判定

1.　まえがき

　級数 Σ( (logn)/n )² の収束を比較定理によって、判定せよという問題があった。

2.　計算

　まず、比較する級数を求めなければならない。そこで、x>0 , p>0 , K>0 として、
　　　f(x)=log x - Kx^p , f(1)=-K < 0・・・・・・・・①
　を考える。この関数が f(x)<0 (x≧1) 減少関数となるか検討する。
　　　f'(x)=1/x-Kpx^p-1  
　であり、f'(x)≦0 となるxの範囲を求めると
　　　x≧(1/Kp)^1/p 
　ここで、K=1/p に選ぶと、x≧1 で、f'(x)≦0 となる。すると①から
　　　f(x)<0 → log x < Kx^p (x≧1)
　を得る。この両辺を２乗して、x² で割ると
　　　(log x/x)²<K²/x^2-2p ・・・・・②
　を得る。p<1/2 にとると、q=2-2p として、q>1 となる。②は
　　　(log x/x)²<K²/x^q (x≧1 , q>1)
　となる。これから、n≧1の時、
　　　Σ(log n/n)² < ΣK²/n^q (q>1)
　を得る。右辺の収束はよく知られているので、掲題の級数も収束する。

3.　あとがき

　Σ1/n^q (q>1) の収束性は、積分を使ったものがよく知られているから、掲題の級
　数は始めからそうしたほうが簡単で直接的となる。g(x)=(log x/x)² とし、
　　　g'(x)=2(log x/x)(1/x²-log x/x²)=2(log x/x³)(1-log x) <0 (x>e → x≧3)
　となるので、g(x)は減少関数となる。すると
　　　Σ[n=3→∞] (log n/n)² < ∫[x=2→∞] (log x/x)²dx < ∫[x=1→∞] (log x/x)²dx
　　　　　　=[log²x/(-x)][x=∞,1]-∫[x=1→∞] (2log x/x)/(-x) dx
　　　　　　=0+2∫[x=1→∞] (log x/x²) dx
　　　　　　=2{ [log x/(-x)][x=∞,1]-∫[x=1→∞] (1/x)/(-x) dx }
　　　　　　=0+2∫[x=1→∞] 1/x² dx=2
　となり、掲題の級数は有界となり、収束する。

以上