級数 Σ[n=2→∞] (1/n(logn)^p) (p>0) の収束発散の判定

１．まえがき

　p>0のとき、級数 S=Σ_n=2^∞ 1/(n(logn)^p) の収束発散を調べよという問題があった。

２．計算

　まず
　　　f(x)=1/{x(logx)^p}  (x>1)
　とおく。すると、f(x) は単調減少である。また
　　　(d/dx){ (logx)^-p+1 } = { 1/(-p+1) }{ (logx)^-p }/x = {1/(-p+1) }f(x)  (p≠1)
　だから

　(1) p<1 のとき

　　　S=Σ_n=2^∞  f(n) > ∫₂^∞ f(x)dx = (-p+1)[ (logx)^-p+1 ]^∞₂ = (-p+1) [∞-(log2)^-p+1] = ∞ 
　　つまり、Sは発散。

　(２) p>1 のとき

　　　S=Σ_n=2^∞ f(n) = f(2)+Σ_n=3^∞ f(n) < f(2)+∫₂^∞ f(x)dx = (-p+1)[ (logx)^-p+1 ]^∞₂
　　　  = f(2)+(-p+1)[1/∞-(log2)^-p+1] = (-p+1)[-(log2)^-p+1] = f(2)+(p-1)/(log2)^p-1 
　　　  = 1/{2(log2)^p}+(p-1)/(log2)^p-1 

　　つまり、Sは収束。

　(３) p=1 のとき

　　次に
　　　f(x) = 1/(xlogx)
　　とおくと
　　　(d/dx){log(logx)} = 1/( xlogx) = f(x)

　　である。
　　　S=Σ_n=2^∞ f(n) > ∫₂^∞ f(x)dx = [ log(logx) ]^∞₂ = ∞-log(log2) = ∞
　　つまり、Sは発散。

３．補足

　上記で、f(x) が単調減少なら、aを自然数として
　　　Σ_n=a+1^∞ f(n) < ∫_a^∞ f(x)dx < Σ_n=a^∞ f(n)
　となることを使った。

以上