無限ソレノイドによる磁界をビオ・サバールの式から計算する

１　まえがき

　無限ソレノイドの磁界をビオ・サバールの式から計算する。

２　状態の設定

　ソレノイドの半径をa、XY座標の原点Oをソレノイドの中心に、ソレノイドの軸をZ軸、求める
　磁界の座標を(b,0,0)、ソレノイドの単位長さ当たりの電流密度を i[A/m]、円環の電流素片
　に対する微小距離ベクトルを ds、その原点との角度をθ、電流素片から磁界を求める座標
　までの距離ベクトルを rとする。ここで、ソレノイドの内部 b < a とする。



３　計算

　　　ds=adθ(-sinθ, cosθ, 0)、r²=a²+b²-2abcosθ+z²
　　　r=(b-acosθ,-asinθ, -z)、 ds×r=adθ(-zcosθ, -zsinθ, a-bcosθ)

　であり、dz部分の電流は idz だから、ビオ・サバールの式により

　　　H=(i/4π)∫_-∞ ^∞ dz∫(ds×r)/r³
　　　　=(i/4π)∫_-π ^π adθ∫_-∞ ^∞ dz(-zcosθ, -zsinθ, a-bcosθ)/r³
　　　　=(ai/4π)∫_-π ^π dθ∫_-∞ ^∞ dz(-zcosθ, -zsinθ, a-bcosθ)/r³

　となる。ここで、zで積分すると簡単になるが、x,y成分はzの奇関数だから、０（物理的に考
　えても明らか）となり、z成分しかない。したがって

　　　Hx=Hy=0
　　　Hz=(ai/4π)∫_-π ^π dθ(a-bcosθ)∫_-∞ ^∞ dz/r³

　となる。

　ここで、積分関数はθとzについて遇関数だから、区間を半分にして値を倍にする。
　　　Hz=(ai/π)∫₀ ^π dθ(a-bcosθ)∫₀ ^∞ dz/r³

　　　A²=a²+b²-2abcosθ( > 0)とおき、zの積分だけ取り出し、z=Atanφと
　変数変換して計算すると

　　　∫₀ ^∞ dz/(A²+z²)^3/2=(1/A²)∫₀ ^π/2 cosφdφ=1/A²

　積分を戻すと
　　　Hz=(ai/π)∫[0,π]dθ(a-bcosθ)/(a²+b²-2abcosθ)

　ここで、t=tan(θ/2)と変数変換すると

　となって、a,bに関係なく磁界は i になる。

【参考】　積分の最後からソレノイドの外部 b > a なら、(a-b)/|a-b|=-1 だから、上の積分は
　　　　(-π/2+π/2)=0 となり、これもa,bの値に関係なく Hz=0 となる。

以上