級数和 Σ [√{(2k+1)/n} ]/n の極限を積分により求める

級数和
　　　lim [n→∞] Σ_k=0ⁿ [√{(2k+1)/n} ]/n = (1/2)∫₀² f(x) dx
を証明する問題があった。これは次のように、閉区間における連続関数のリーマン和
の極限が積分になることを使う。つまり



　　　lim [n→∞] Σ_k=1ⁿ f(k/n)(1/n)=∫₀¹ f(x) dx
　　　(区間 [0,1] をn等分して、区間 [(k-1)/n, k/n] (k=1,・・・,n] のうち、右端 f(k/n)
　　　　と区間幅(1/n)の積の和をとったもの。)
で求められるタイプだが多少工夫を要する。

今回は、区間 [0,2] をn等分して、幅が (2/n) である区間 [2k/n, (2k+2)/n] (k=0,1, … , n-1)
のセンター値、f( (2k+1)/n ) のリーマン和を考えている。



すると
　　　lim [n→∞] Σ_k=0ⁿ f( (2k+1)/n )/n
　　　　　= lim [n→∞] { (1/2) [ Σ_k=0^n-1 f( (2k+1)/n ) (2/n) ] + f( (2n+1)/n )/n }
　　　　　= (1/2) lim [n→∞] Σ_k=0^n-1 f( (2k+1)/n ) (2/n)  + 0
　　　　　= (1/2)∫₀² f(x) dx
となる。

今回、 f(x)=√x に適用すると
　　　lim [n→∞] Σ_k=0ⁿ [√{(2k+1)/n} ]/n = (1/2)∫₀² √x dx = (1/2) [(2/3) x^3/2 ]²₀ =(2/3)√2
となる。

以上