級数和
lim [n→∞] Σk=0n [√{(2k+1)/n} ]/n = (1/2)∫02 f(x) dx
を証明する問題があった。これは次のように、閉区間における連続関数のリーマン和
の極限が積分になることを使う。つまり
lim [n→∞] Σk=1n f(k/n)(1/n)=∫01 f(x) dx
(区間 [0,1] をn等分して、区間 [(k-1)/n, k/n] (k=1,・・・,n] のうち、右端 f(k/n)
と区間幅(1/n)の積の和をとったもの。)
で求められるタイプだが多少工夫を要する。
今回は、区間 [0,2] をn等分して、幅が (2/n) である区間 [2k/n, (2k+2)/n] (k=0,1, … , n-1)
のセンター値、f( (2k+1)/n ) のリーマン和を考えている。
すると
lim [n→∞] Σk=0n f( (2k+1)/n )/n
= lim [n→∞] { (1/2) [ Σk=0n-1 f( (2k+1)/n ) (2/n) ] + f( (2n+1)/n )/n }
= (1/2) lim [n→∞] Σk=0n-1 f( (2k+1)/n ) (2/n) + 0
= (1/2)∫02 f(x) dx
となる。
今回、 f(x)=√x に適用すると
lim [n→∞] Σk=0n [√{(2k+1)/n} ]/n = (1/2)∫02 √x dx = (1/2) [(2/3) x3/2 ]20 =(2/3)√2
となる。
以上
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