6÷2(1+2)=

mixi で取り上げられています。

6÷2(1+2)= 9 or 1 のどちらなのか？


＜私の説明は＞
これは、簡単だけど面白い問いです。

A ÷ B(C + D) = A ÷ B × (C + D) は明らかです。
6 ÷ 2(1 + 2) = 6 ÷ 2 × (1 + 2) = 6 ÷ 2 × 3 = 3 × 3 = 9
が正しいです。

感覚的に面白いのは、
Z = C + D とおくと、式の意味が分からなくなるところです。

① A ÷ BZ = A ÷ (BZ) = A / (BZ)
② A ÷ BZ = A ÷ B × Z

とくに、B(= 2) が数字だとさらに意味が分からない。
③ A ÷ 2Z = A ÷ (2Z) = A / (2Z)
④ A ÷ 2Z = A ÷ 2 × Z

例えば、「A、Z」⇒「a、z」を小文字にして、「b、2」と比較すると
a ÷ bz = a ÷ b × z
a ÷ 2z = a / (2z)

実は、「÷」の後の「数、変数、式」をどうのように捉えるかが問題です。
a ÷ 2z = a ÷ 2 × z = az / 2
a ÷ (2z) = a / (2z)
明らかに、a ÷ 2z ≠ a ÷ (2z)
だから、①、③は間違いです。

z が単項式の場合は 2z を (2z) として扱って良いのであって、z = 1 + 2 の場合は多項式なので扱えないです。
つまり単項式(= z)では
z が単項式の場合である：a ÷ 2z = a ÷ (2z) = a / (2z)
z が単項式の場合でない：a ÷ 2z = a ÷ 2 × z = az / 2


この問題は、証明とか、計算の順番とか、定義とか、解釈とかではなく。
掛け算の×の省略ととらえると、式の意味が分からなくなり。
生徒に質問されると、教師も分かりやすく答えられないので、教師も考え込んでしまうことです。

結果を「1」にしたいのであれば、
6 ÷ 2(1 + 2) ⇒ 6 ÷ {2(1 + 2)} または 6 ÷ 2 ÷ (1 + 2) と書かないといけないです。

この式は議論する余地はないけど、改めて計算方法を見直すには、面白い問いです。



※補足
計算機の場合は、×、÷の記号を（コンパイラが）解析します。
この式は、「×」がないので、2(1 + 2) を１つの固まりで処理するため、「1」になります。

計算機の場合は
「×」がある場合は、6 ÷ 2 × (1 + 2) = 6 ÷ 2 × 3 = 3 × 3 = 9
「×」がない場合は、6 ÷ 2(1 + 2) = 6 ÷ (2 × 3) = 6 ÷ 6 = 1 （∵ 6 ÷ (2z)）

台湾のYouTubeもありますが、これは、コンパイラの解析（記号の解析）に問題があるからです。
計算機のコンパイラは、「×、÷」の文字があるないかで判断して、それから計算法則に当てはめて計算します。


あなたなら、9 ですか 1 ですか？
9 は多数派、1 は小数派だそうです。

内積について

mixi の話題になっていること。
ベクトルの内積について
そこで、高校生に内積を教えるならどう教えるかみなさんの意見を聞かせてください！

＜私の意見＞
a = (p, q)、b = (s, t)、a、b のなす角をθとすると

a・b ≡ ps + qt と定義する。
a・a = p² + q² = |a|² より a・a = |a|²
a・b = ps + qt = sp + tq = b・a より a・b = b・a が成り立つ。

c = b - a と置くと
c = (s - p, t - q) より
c・c = |c|² = (s - p)² + (t - q)² = (s² - 2sp + p²) + (t² - 2tq + q²)
= (s² + t²) - 2(sp + tq) + (p² + q²) = |b|² - 2b・a + |a|²
= |a|² - 2a・b + |b|²　（∵ a・b = b・a）
よって　|c|² = |b - a|² = |a|² - 2a・b + |b|² が成り立つ。

余弦定理より
|b - a|² = |a|² + |b|² - 2|a||b|・cosθ
⇔ |b|² - 2a・b + |a|² = |a|² + |b|² - 2|a||b|・cosθ
⇔ a・b = |a||b|cosθ
よって、a・b = ps + qt = |a||b|cosθ

あなたなら、どのように教えますか？