面積の基本

面積の基本は、長方形だとご存じですか？

えっ！　本当・・・！？　という声が聞こえて来そうです。

長方形は、縦(a)×横(b) = ab が面積ですよね！
すべては、これが基本なんですよ！

平行四辺形も、変形すると長方形になりますね！
三角形は、その２つの三角形を組み合わせると、平行四辺形になりますね！


＜積分の考え方＞
y = x² を区間 [0, 1]の間の面積 S を求める方法は・・・？
区間[0, 1] を n分割します。
x0(= 0), x1, ... , x(N-1), xN(= 1)と分割します。

x(K-1), x(K) は、1/N となりますね！
y = x² は増加関数なので、x(K-1) ＜ x(K) ですね！

小さい面積 t(N)、大きい面積 T(N) を考えます。
t(N) は、x0, ... , X(N-1) を基準に考えます。
T(N) は、X1, ... , X(N) を基準に考えます。

x(K) の時の面積は、
x = x(K) は、x = K / N となるので、面積は x(K)²・(1 / N) = (K / N)²・(1 / N) となりますね！

t(N)
= x0²・(1 / N) + ... + x(N-1)²・(1 / N)
= (x0² + ... + x(N-1)²)・(1 / N)
= ((0 / N)² + ... + ((N-1) / N)²)・(1 / N)
= (0² + ... + (N-1)²)・(1 / N)³

T(N)
= x1²・(1 / N) + ... + x(N)²・(1 / N)
= (x1² + ... + x(N)²)・(1 / N)
= (x1² + ... + x(N)²)・(1 / N)
= (1² + ... + (N)²)・(1 / N)³


実際に求める面積を S とすると t(N) ＜ S ＜ T(N) となります。
N をどんどん大きな数にまで考えます。　最終的には∞まで考えます。
N → ∞ と書きます。

そうすると t(N) → S、T(N) → S となります。

1² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6 という公式があります。

t(N)
= (0² + ... + (N-1)²)・(1 / N)³
= (N - 1)N(2(N - 1) + 1) / 6・(1 / N)³
= (N - 1)N(2N - 1) / 6・(1 / N)³
= (1 - 1 / N)・1・(2 - 1 / N) / 6

N → ∞ とすると 1 / N → 0 となるので
t(N) → (1 - 0)・1・(2 - 0) / 6 = 2 / 6 = 1 / 3

T(N)
= (1² + ... + (N)²)・(1 / N)³
= N(N + 1)(2N + 1) / 6・(1 / N)³
= 1・(1 + 1 / N)(2 + 1 / N)

N → ∞ とすると 1 / N → 0 となるので
T(N) → 1・(1 + 0)(2 + 0) / 6 = 2 / 6 = 1 / 3

よって、
t(N) ＜ S ＜ T(N) を N → ∞ とすると
t(N) → 1 / 3、T(N) → 1 / 3 なので、
1 / 3 ＜ S ＜ 1 / 3 なので S = 1 / 3 となります。
※これを「はさみうちの原理」と言います。

求める面積は、S = 1 / 3


面積は長方形が基本なのは、分かって頂けましたでしょうか？