数学の大学受験を対象に・・・。
自分に数学のセンスがあるのか？ ないのか？ をはっきりさせないと、勉強方法は分かりませんよね！
＜問題＞
曲線 y = x3 上の点 P(a, a3) における接線を l , l がふたたびこの曲線と交わる点を Q, Q におけるこの曲線の接線を m とし、２直線 l, m のなす角うち鋭角であるほうを θ とする。
a ＞ 0 として、次の問いに答えよ。
(1) tanθ を a で表せ。
(2) θ が最大になるときの a の値と tanθ の値を求めよ。
これは、標準問題レベルです。 解き方がイメージが出来るでしょうか？
しばらく、考えてみてください。 イメージが出来れば大丈夫です。
＜解き方のイメージ＞
(1) 点 P の接線 l を求める。 それから、点 Q を求める。 接線 l, m の傾きより tanθ を a を用いて表す。
(2) a の関数より f(a) の最大値を求める。
＜解答＞
(1) y = x3, y' = 3x2
点 P (a, a3) における接線 l の方程式は
y = 3a2(x - a) + a3
y = 3a2x - 2a3
曲線と l との交点の x 座標は
x3 = 3a2x - 2a3
(x - a)2(x + 2a) = 0 ・・・①
∴ x = a, -2a
点 Q (-2a, -8a3) における接線 m の傾きは
3(-2a)2 = 12a2
よって、
tanθ = | (12a2 - 3a2) / (1 + 12a2・3a2) | = 9a2 / (1 + 36a4) ...Ans
(2) a ≠ 0 ゆえ
tanθ = 9 / (1 / a2 + 36a2) ≦ 9 / (2√((1/a2)・36a2)) = 3 / 4
相加・相乗平均の不等式より
等号が成立するのは
1 / a2 = 36a2
a = 1 / √6 (a ＞ 0)
よって、 θ は a = 1 / √6 のとき最大となり、
このとき tanθ = 3 / 4 である。 ...Ans
＜解答の解説＞
(1) y = x3, y' = 3x2
y = xn, y' = nxn - 1
点 P (a, a3) における接線 l の方程式は
点 T (t, f(t)) における接線 lt の方程式は
y - f(t) = f'(t)(x - t) ⇔ y = f'(t)(x - t) + f(t)
y = 3a2(x - a) + a3
y = 3a2x - 2a3
曲線と l との交点の x 座標は
x = a の接線なので、x = a より２重解を持つので、(x - a)2(x - u) = 0 の形になる
x3 = 3a2x - 2a3
(x - a)2(x + 2a) = 0 ・・・①
∴ x = a, -2a
点 Q (-2a, -8a3) における接線 m の傾きは
y = f'(t)(x - t) + f(t) より傾きは f'(t) より y' = 3x2 に x = - 2a を代入する
3(-2a)2 = 12a2
よって、
２直線 y = m1x + y1, y = m2x + y2 とし、x 軸とのなす角をそれぞれ α, β とすると
ただし、m2m1 ≠ -1
tanα = m1, tanβ = m2 より
tanθ = |tan(β-α)| = |(tanβ - tanα) / (1 + tanβtanα)| = |(m2 - m1) / (1 + m2m1)|
tanθ = | (12a2 - 3a2) / (1 + 12a2・3a2) | = 9a2 / (1 + 36a4) ...Ans
(2) a ≠ 0 ゆえ
tanθ = 9 / (1 / a2 + 36a2) ≦ 9 / (2√((1/a2)・36a2)) = 3 / 4
相加・相乗平均の不等式より
t + u ≧ 2√(tu) ⇔ 1 / (t + u) ≦ 1 / 2√(tu) 等号は t = u
等号が成立するのは
1 / a2 = 36a2
a = 1 / √6 (a ＞ 0)
よって、 θ は a = 1 / √6 のとき最大となり、
このとき tanθ = 3 / 4 である。 ...Ans
＜結果的には解き方のイメージ＞
(1) 点 P の接線 l を求める。 それから、点 Q を求める。 接線 l, m の傾きより tanθ を a を用いて表す。
(2) a の関数より f(a) の最大値を相加・相乗平均より求める。
この問題は、数学Ⅱ・Bの微分と三角関数の融合問題です。
①解き方のイメージが出来る
②太い部分の公式を理解している
③公式より具体的な数式を当てはめて計算できること
＜センスがある方＞
①～③までをスムーズに出来れば、数学的なセンスはあると思います。
難関大学になればなるほど、①の部分が難しい問題が出題されます。
＜センスがない方＞
①～③までをスムーズに出来なければ、数学的なセンスがないと思います。
センスがないので、同じ問題または類題を解いて、反復して解きましょう。
数学的なセンスがない以上は、反復して解くしかないですよね！ それが地道な努力です。 学問に王道なしです。
理系の高３であれば、数学Ⅱ・Bまでを学習していると思われます。
東京大学、京都大学、大阪大学などの難関校の文系の問題は数学Ⅱ・Bまでが範囲なので、試しに過去問でも解いて見てもいいかもしれませんね！
文系の大学は、数学Ⅱ・Bまでが範囲なので、理系の高３ならば文系の大学の入試問題は解ける内容が出題されています。
自分に数学のセンスがあるのか？ ないのか？ をはっきりさせないと、勉強方法は分かりませんよね！
＜問題＞
曲線 y = x3 上の点 P(a, a3) における接線を l , l がふたたびこの曲線と交わる点を Q, Q におけるこの曲線の接線を m とし、２直線 l, m のなす角うち鋭角であるほうを θ とする。
a ＞ 0 として、次の問いに答えよ。
(1) tanθ を a で表せ。
(2) θ が最大になるときの a の値と tanθ の値を求めよ。
これは、標準問題レベルです。 解き方がイメージが出来るでしょうか？
しばらく、考えてみてください。 イメージが出来れば大丈夫です。
＜解き方のイメージ＞
(1) 点 P の接線 l を求める。 それから、点 Q を求める。 接線 l, m の傾きより tanθ を a を用いて表す。
(2) a の関数より f(a) の最大値を求める。
＜解答＞
(1) y = x3, y' = 3x2
点 P (a, a3) における接線 l の方程式は
y = 3a2(x - a) + a3
y = 3a2x - 2a3
曲線と l との交点の x 座標は
x3 = 3a2x - 2a3
(x - a)2(x + 2a) = 0 ・・・①
∴ x = a, -2a
点 Q (-2a, -8a3) における接線 m の傾きは
3(-2a)2 = 12a2
よって、
tanθ = | (12a2 - 3a2) / (1 + 12a2・3a2) | = 9a2 / (1 + 36a4) ...Ans
(2) a ≠ 0 ゆえ
tanθ = 9 / (1 / a2 + 36a2) ≦ 9 / (2√((1/a2)・36a2)) = 3 / 4
相加・相乗平均の不等式より
等号が成立するのは
1 / a2 = 36a2
a = 1 / √6 (a ＞ 0)
よって、 θ は a = 1 / √6 のとき最大となり、
このとき tanθ = 3 / 4 である。 ...Ans
＜解答の解説＞
(1) y = x3, y' = 3x2
y = xn, y' = nxn - 1
点 P (a, a3) における接線 l の方程式は
点 T (t, f(t)) における接線 lt の方程式は
y - f(t) = f'(t)(x - t) ⇔ y = f'(t)(x - t) + f(t)
y = 3a2(x - a) + a3
y = 3a2x - 2a3
曲線と l との交点の x 座標は
x = a の接線なので、x = a より２重解を持つので、(x - a)2(x - u) = 0 の形になる
x3 = 3a2x - 2a3
(x - a)2(x + 2a) = 0 ・・・①
∴ x = a, -2a
点 Q (-2a, -8a3) における接線 m の傾きは
y = f'(t)(x - t) + f(t) より傾きは f'(t) より y' = 3x2 に x = - 2a を代入する
3(-2a)2 = 12a2
よって、
２直線 y = m1x + y1, y = m2x + y2 とし、x 軸とのなす角をそれぞれ α, β とすると
ただし、m2m1 ≠ -1
tanα = m1, tanβ = m2 より
tanθ = |tan(β-α)| = |(tanβ - tanα) / (1 + tanβtanα)| = |(m2 - m1) / (1 + m2m1)|
tanθ = | (12a2 - 3a2) / (1 + 12a2・3a2) | = 9a2 / (1 + 36a4) ...Ans
(2) a ≠ 0 ゆえ
tanθ = 9 / (1 / a2 + 36a2) ≦ 9 / (2√((1/a2)・36a2)) = 3 / 4
相加・相乗平均の不等式より
t + u ≧ 2√(tu) ⇔ 1 / (t + u) ≦ 1 / 2√(tu) 等号は t = u
等号が成立するのは
1 / a2 = 36a2
a = 1 / √6 (a ＞ 0)
よって、 θ は a = 1 / √6 のとき最大となり、
このとき tanθ = 3 / 4 である。 ...Ans
＜結果的には解き方のイメージ＞
(1) 点 P の接線 l を求める。 それから、点 Q を求める。 接線 l, m の傾きより tanθ を a を用いて表す。
(2) a の関数より f(a) の最大値を相加・相乗平均より求める。
この問題は、数学Ⅱ・Bの微分と三角関数の融合問題です。
①解き方のイメージが出来る
②太い部分の公式を理解している
③公式より具体的な数式を当てはめて計算できること
＜センスがある方＞
①～③までをスムーズに出来れば、数学的なセンスはあると思います。
難関大学になればなるほど、①の部分が難しい問題が出題されます。
＜センスがない方＞
①～③までをスムーズに出来なければ、数学的なセンスがないと思います。
センスがないので、同じ問題または類題を解いて、反復して解きましょう。
数学的なセンスがない以上は、反復して解くしかないですよね！ それが地道な努力です。 学問に王道なしです。
理系の高３であれば、数学Ⅱ・Bまでを学習していると思われます。
東京大学、京都大学、大阪大学などの難関校の文系の問題は数学Ⅱ・Bまでが範囲なので、試しに過去問でも解いて見てもいいかもしれませんね！
文系の大学は、数学Ⅱ・Bまでが範囲なので、理系の高３ならば文系の大学の入試問題は解ける内容が出題されています。