高校の数学

高校までの数学は、古典数学と言われています。
公式自体は、そんなに難しいことはないです。
※ひねった問題はたくさんありますけど・・・。

中学からは、文字の計算を行います。
※その文字にどんな数字を入れても成り立つ意味ですね！

それから、未知数を求める、１次方程式、２元１次方程式、２次方程式を中学で扱います。

関数とは、x の値に対して、y の値が定まるのことを関数と言います。
一般形は、y = f(x) と表現されます。
y = 2x - 1、y = 2x²などと表現しますね！

厳密には集合Aを集合Bに写像fをすることの１部が関数です。
B = f(A)と書いた方が分かりやすいと思います。
集合論の表現では 「f : A → B」 と表現します。

でも、これらは古典数学なので、１７世紀以前にはすでに分かっている事実でした。

二項定理

===== 数学A・Ⅰ =====
＜二項定理＞
(a + b)ⁿ = _nC₀aⁿ + _nC₁a^{n - 1}b + _nC₂a^{n - 2}b² + ・・・ + _nC_ra^{n - r}b^r + ・・・ + _nC_{n - 1}ab^{n - 1} + _nC_nbⁿ

組合せ

===== 数学A・Ⅰ =====
n個のものからr個をとった組合せの数
_nC_r = _nP_r / r! = n(n - 1)(n - 2)・・・(n - r + 1)
_nC_r = n! / r!(n - r)!

_nC_rの基本性質
_nC_r = _nC_{n - r
n}C_r = _{n - 1}C_{r - 1} + _{n - 1}C_r

n個の異なるものからr個をとった重複組合せの数は
_nH_r = _{n + r - 1}C_r

順列

===== 数学A・Ⅰ =====
＜定義＞
n! = n・(n - 1)・・・・・3・2・1
0! = 1
n! (nの階乗)

n個のものからr個をとった順列
_nP_r = n・(n - 1)・・・(n - r + 1)
_nP_r = n! / (n - r)!

n個の異なるものの円順列の数は(n - 1)!

n個の異なるものからr個をとる重複順列の数は_nΠ_r = n^r

n個のもののうち、p個、q個、r個、・・・がそれぞれ同じものであるとき、これらn個のもの全部を１列に並べる順列の数は n! / (p! q! r!・・・) (n = p + q + r + ・・・)

場合の数

===== 数学A・Ⅰ =====
＜和の法則＞
２つの事柄 A、B があって、これらは同時に起こり得ないとする。
そして、A の起こり方が m 通り、B の起こり方が n 通りあるとする。
A または B の起こる場合の和は m + n 通りある。

＜積の法則＞
２つの事柄 A、B があって、
A の起こり方が m 通りあり、そのおのおのに対して B の起こり方が n 通りあるとき、
A、B がともに起こる場合の数は m × n 通りある。

球の表面積と体積

===== 数学A・Ⅰ =====
（半径 r の球）
表面積：S = 4πr²
体積：V = 4 / 3 ・πr³

三角形の面積

===== 数学A・Ⅰ =====
（三角形の面積）
△ABCの面積をSとすると
S = bcsinA / 2 = casinB / 2 = absinC / 2

（ヘロンの公式）
△ABCの辺をそれぞれ、a、b、cとすると（３辺の長さが分かっている時）、面積をSとする。
s = (a + b + c) / 2
S = √(s(s - a)(s - b)(s - c))

（三角形の内接円・外接円の半径と面積）
S = abc / 4R
S = rs (s = (a + b + c) / 2)

正弦定理と余弦定理

===== 数学A・Ⅰ =====
（三角形の基本性質）
A + B + C = 180°
|b - c| ＜ a ＜ b + c

（正弦定理）
a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R
※Rは△ABCの外接円の半径

a = 2RsinA、b = 2RsinB、c = 2RsinC
a : b : c = sinA : sinB : sinC

（余弦定理）
余弦定理は第１余弦定理と第２余弦定理の２つがあります。
受験では、第２余弦定理を頻繁に使用するので、余弦定理と言うと第２余弦定理を指します。

===== 第１余弦定理 =====
a = b・cosC + c・cosB
b = c・cosA + a・cosC
c = a・cosB + b・cosA

===== 第２余弦定理（余弦定理） =====
a² = b² + c² - 2・b・c・cosA
b² = c² + a² - 2・c・a・cosB
c² = a² + b² - 2・a・b・cosC

鈍角の三角比

===== 数学A・Ⅰ =====
x-y座標の半径rの円（半円）よりP(x, y)とすると
P₀(r, 0)とすると
∠P₀OP=θとすると（0°≦θ≦180°）

（定義）
sinθ = y / r
cosθ = x / r
tanθ = y / x (x ≠ 0)

（補角の公式）
sin(180°-θ) = sinθ
cos(180°-θ) = -cosθ
tan(180°-θ) = -tanθ

（補足）
sin(180°-θ) = -sin(θ-180°) = sinθ
cos(180°-θ) = cos(θ-180°) = -cosθ

（90°+θの公式）
sin(90°+θ) = cosθ
cos(90°+θ) = -sinθ
tan(90°+θ) = - 1 / tanθ

（補足）
sin(90°+θ) = sin(θ+90°) = cosθ
cos(90°+θ) = cos(θ+90°) = -sinθ

（三角比の相互関係）
tanθ = sinθ / cosθ
sin²θ + cos²θ = 1
1 + tan²θ = 1 / cos²θ
0°≦θ≦180°でも成り立ちます。

※三角関数よりθはどんな角でも成り立ちます。
※一般角の証明が必要なため、今の段階は0°≦θ≦180°で考えてよい。

直角三角形と三角比

===== 数学A・Ⅰ =====
△ABCより
∠C = 90°
BC = a、CA = b、AB = c とすると

（定義）
sinA = a / c
cosA = b / c
tanA = b / a

（三角比の相互関係）
tanθ = sinθ / cosθ
sin²θ + cos²θ = 1
1 + tan²θ = 1 / cos²θ

（余角の公式）
sin(90°-θ) = cosθ
cos(90°-θ) = sinθ
tan(90°-θ) = 1 / tanθ

===== 余角の公式の覚え方 =====
sin(-θ) = -sinθ、cos(-θ) = cosθ
90°づつ追加すると、sinθ ⇒ cosθ ⇒ -sinθ ⇒ -cosθ　以下は繰り返す⇒sinθ（元に戻る）
90°づつ減らすと、sinθ ⇒ -cosθ ⇒ -sinθ ⇒ cosθ　以下は繰り返す⇒sinθ（元に戻る）

ポイントは、θ-90°にすること（θが左になる）

sin(90°-θ) = -sin(θ-90°) = cosθ
sin(90°-θ) = -sin(θ-90°)は、sin(-θ) = -sinθより
-sin(θ-90°) = cosθは、90°づつ減らす、-sinθ⇒cosθより

cos(90°-θ) = cos(θ-90°) = sinθ
cos(90°-θ) = cos(θ-90°)は、cos(-θ) = cosθより
cos(θ-90°) = sinθは、90°づつ減らす、cosθ⇒sinθより

＜ポイント＞
１．sin(-θ) = -sinθ、cos(-θ) = cosθ
２．θ-90°にする
３．sinθ ⇔ cosθ ⇔ -sinθ ⇔ -cosθ
180°でも応用が利くので必ず覚えてください。