U(x,y) として、偏微分方程式
∂²U/∂x∂y-∂²U/∂x²-∂U/∂x=0・・・・①
の一般解を求める問題があった。
V=∂U/∂x=Ux とおく。すると①式は
-Vx+Vy=V
これはラグランジュの微分方程式となる。補助方程式は
dx/-1=dy/1=dV/V
となり、この解は d(log|V|-y)=d(x+y)=0 だから、V≠0 のとき、f を任意関数として、
一般解を陰関数表示すれば
log|V|-y=f(x+y) → V=±exp(y)exp(f(x+y))
となる。exp(f(x+y))を改めて（省略した±と0も含めて）、任意関数 f(x+y)とおくと
V=exp(y)f(x+y)
となる。V=Uxだから xで積分して、gを任意関数として
U=∫exp(y)f(x+y)dx+g(y)=exp(y)∫f(x+y)dx+g(y)
となる。ここで、z=x+yと変数変換すると
U=exp(y)∫f(z)dz+g(y)
さらに、∫f(z)dz を改めて、任意関数f(z)と置くと
U=exp(y)f(z)+g(y)=exp(y)f(x+y)+g(y)
となる。
［追加］
∂u/∂x+∂u/∂y=2(x+y)u ・・・・・②
を解く。
w=x, z=x+y と変数変換する。連鎖律より
∂u/∂x=(∂u/∂w)(∂w/∂x)+(∂u/∂z)(∂z/∂x)=(∂u/∂w)1+(∂u/∂z)1=(∂u/∂w)+(∂u/∂z)
∂u/∂y=(∂u/∂w)(∂w/∂y)+(∂u/∂z)(∂z/∂y)=(∂u/∂w)0+(∂u/∂z)1=(∂u/∂z)
まとめると②は
∂u/∂w+2(∂u/∂z)=2zu
となり、補助方程式は
dw/1=dz/2=du/2zu → z-2w=C₁ , log|u|-z²/2=C₂
このラプラスの方程式の一般解は
Φ(z-2w, log|u|-z²/2)=0
となる。
陰関数にして
log|u|-z²/2=f(z-2w) → u=±exp{z²/2+f(z-2w)}
ここで fは任意関数だから、任意関数 g(g≠0)として f=log|g| とできるから
u=±|g(z-2w)|exp{z²/2}
となる。つぎに、u=0も元の偏微分方程式の解だから、±|g| (g≠0) と u=0を合わせて、
改めて、fを任意関数として ±|g|,0 → f とすれば
u=f(z-2w)exp(z²/2)=f(y-x)exp{(x+y)²/2}
となる。
以上
