バネばかりに落下した物体が次の反動で浮き上がる条件

1.　まえがき

　下記の問題が載っていた。はじめ、問題の意図や意味も汲み取れなかった。

2.　問題

　図のように質量の無視できるバネの下端が床に固定され、上端は水平に保たれた固くて厚さの無
　視できる薄い板（質量2m）の重心に取り付けられている。この時、バネの自然の長さからd縮ん
　で静止した。この時の板の位置を最初の釣合の位置とする。板の重心鉛直上方の高さHの位置か
　ら大きさの無視できる小物体（質量m）を初速度なしで落とし、板に衝突させた。衝突後小物体
　は跳ね返らずに板と一体になって動き始め、床に到達する前に最も低くなる位置に到達した。そ
　の後、ともに鉛直上向きに運動してから、小物体は板から離れ、鉛直上方に飛び出た。バネは鉛
　直方向にのみ伸び縮みし、バネ定数は一定であり、空気の抵抗は無視できるものとする。重力加
　速度の大きさをgとし、以下の問に答えなさい。

　問　衝突後、小物体がバネの運動により、板から離れて飛び出るために必要な高さHを求めよ。

3.　解法

　始め意味が分からなかったのは幾つかの不明点があった。

　・　小物体が離れることの意味・・・・離れる条件として、バネは単振動をしており、最大上部
　　　に達したとき、下向きに最大（最小？）の加速度をもちます。この加速度が -g より小さけ
　　　れば、mの -gによる落下は、2mの台の下降についていけず、浮き上がる。という方針で計
　　　算した。
　・　板と小物体の衝突の条件・・・・運動量保存則がなりたつ。
　・　バネ定数が与えられていない・・・板の質量2mと初めの静止位置dから求まる。

　3.1　条件定数の計算

　　まず、2mとバネの釣合で、
　　　　kd=2mg → k=2mg/d・・・・・・①
　　とバネ定数がわかる。

　　mと2mの衝突で運動量保存が成り立つと仮定すれば、mの衝突前の速度は落下の位置エネルギ
　　ーに相当するので -√(2gH) だから、衝突後の(m+2m)の速度v₀は
　　　　-m√(2gH)=3mv₀ → v₀=-(√(2gH))/3・・・・・②

　3.2　運動方程式

　　運動方程式は上下方向を y軸に取って
　　　　3my''=-ky-3mg → y=-3mg/k+Acos wt+Bsin wt 、w=√(k/3m)・・・・・・③
　　　　y(0)=-d , y'(0)=v₀
　　だから
　　　　y=-3mg/k+(3mg/k-d)cos wt +(v₀/w)sin wt
　　したがって、
　　　　y''=-w²{(3mg/k-d)cos wt +(v₀/w)sin wt}

　　この最上部の加速度は cos/sin の係数の2乗和の平方根 -w²√{(3mg/k-d)²+(v₀/w)²} であ
　　り、これが、-gより小さければ浮き上がる。
　　　　-w²√{(3mg/k-d)²+(v₀/w)²}<-g・・・・・④

　　ここで、①②③を使って
　　　　(3mg/k-d)²=(3d/2-d)²=d²/4 , (v₀/w)²=(2gH/9)3m/k=(2gH/9)3d/(2g)=Hd/3
　　　　w²=k/3m=2g/(3d)

　　これを④に入れて
　　　　(2g/3d)√(d²/4+Hd/3)>g → d²/4+Hd/3>(9d²/4g²)g² → H/3>9d/4-d/4=2d
　　　　　→ H>6d
　　を得る。

4.　別解

　別解としてエネルギーを使った解法があった、計算は簡単で結果も一致する。バネが自然長に
　なったところでエネルギーの比較しているのだが、回りくどく、ゴチャゴチャしてハッキリし
　ない。さらに、小物体が離れる論理がどうもわからない。

　手順が簡単で結果も一致するので、なんとか考えた結果、以下のように理解できた。結局、離
　れる論理は上のものと同じ、「バネの最上部での加速度が -gより小さくなればよい」となる。

　すると上の運動方程式③で y''=-g とすると、y=0、つまり、バネの自然長のとき、-g となる。
　したがって、この自然長以上の振幅になればmは離れることになる。この時は、速度が0で、バ
　ネも自然長だから、位置エネルギーしかない。

　位置エネルギーの基準を始めの釣合位置、y=-d にすると、この自然長でのエネルギーは位置
　エネルギーのみで、
　　　3mgd　　・・・・・・・・・・⑤
　となる。衝突直後のエネルギーはバネのエネルギー
　　　kd²/2=mgd　　　　・・・・・⑥　（①式を代入）
　と、(m+2m)は②式の速度を持つから運動エネルギー 
　　　(3m)v₀²/2=mgH/3・・・・・⑦
　の和となる。結局、エネルギーが保存によって、⑥+⑦のエネルギーによって、最上部に達す
　る。そして、このエネルギーが⑤より大きければ、バネの自然長を超え、バネが縮むとき、-g
　より小さくなって、小物体は浮き上がる。つまり
　　　mgd+mgH/3>3mgd → H>6d
　となる。

以上

実数の定数Nに対し、実関数 f(x,y,z)=xy+yz+zx+Nxyz が x+y+z=1、x,y,z≧0 を満たすとき、fの値の範囲を求む。

つぎの自作問題というものがあった。

［問題］x+y+z=1、x,y,z≧0 と実数の定数Nに対し、実関数f(x,y,z)=xy+yz+zx+Nxyz のとりう
　　　　る値の範囲を求めよ。

［解］fは有界閉集合上の連続関数だから、最大最小が必ず存在する。したがって連続関数fの範囲は
　　　その最大最小の範囲なので、これ等を求めればよい。ラグランジュの未定乗数法を使う。
　　　これによって求めた、停留点は上の閉集合の内部であるから、まず、境界の最大最小を求めて
　　　おき、ラグランジュの結果と比較して、最大最小を求める。

1.　境界の評価。

　x+y=1 , z=0 の境界を考えると f=x(1-x) なので
　　　0≦f≦1/4・・・・①
　となる。 対称性から、他の境界も同じとなる。

2.　ラグランジュの結果（領域の内部の評価）

　λを消してまとめると　(x-y)(1+Nz)=(y-z)(1+Nx)=(z-x)(1+Ny)=0
　を得る。すなわち、(x-y)=(y-z)=(z-x)=0 を選ぶと
　　　x=y=z(=1/3)・・・・②
　となる。他の選び方により
　　　x=y かつ 1+Nx=1+Ny=0・・・・③
　または
　　　y=z かつ 1+Ny=1+Nz=0 ・・・・④
　または
　　　z=x かつ 1+Nz=1+Nx=0・・・・⑤
　がある。

　2.1　N≧0 のとき

　　N≧0 のときは x,y,z≧0 のため、1+Nx　などは正となり、③➃⑤がなりたたず、条件は②
　　のみになり、
　　　　x=y=z=1/3
　　となる。
　　f≧0 は明らか。 f(1,0,0)=0 なので、f=0が最小値。

　　　　f(1/3,1/3,1/3)=3/9+N/27=1/3+N/27
　　すると①と比較して
　　　　(1/3+N/27)-1/4=1/12+N/27>0
　　なので、
　　　　0≦f≦1/3+N/27

　2.2　N<0 のとき

　　③の条件、x=y かつ 1+Nx=1+Ny=0 のとき、x=y=-1/N, z=1-2x=1+2/N となる。
　　すると
　　　　f=1/N²+2(-1/N)(1+2/N)+N(1/N²)(1+2/N)=-(1/N+1/N²)
　　対称性から、➃⑤の時も同様。

　　以上から
　　　　a=min{0,1/3+N/27,-(1/N+1/N²)}
　　　　b=max{1/4,1/3+N/27,-(1/N+1/N²)}
　　とおくと
　　　　a≦f≦b
　　となる。

以上