方形導波管の電磁界とベクトルポテンシャル

１．まえがき

　方形導波管の電磁界をベクトルポテンシャルを用いて解く問題があった。「完全独習電磁
　気学(林光男、講談社)」にあるというが、他で見たことがないので調べると、「電磁気学
　(川村清、岩波)」に載っていたが、ページ数の関係か計算が杜撰なので考えてみた。

　方形導波管の切り口は x=0～a, y=0～bで、伝送方向は zである。

２．方程式

　この場合、境界以外は真空中なので、クーロンゲージ div A=0 とΦ=0 (合わせて放射ゲ
　ージ)を選べば
　　　∇²A=(1/c²)∂t²A , B=rot A , E=-∂tA 
　を満たす。今回は電磁波、正弦波解のみを求めるのでフェザー表示で、A(x,y,z,t) →
　A(x,y,z)exp(jwt) などとして(Aなどのフェザー表示は面倒なので区別しない)
　　　∇²A=-(w/c)²A　  ・・・・・・(2.1)
　　　B=rot A , E=-jwA ・・・・・・(2.2)
　となる。

　よく知られたようにこの微分方程式は変数分離による特殊解が求められ、Aの成分、
　A_i (i=x,y,z) についてそれぞれ
　　　A_i=(αcos px+βsin px)(α'cos qy+β'sin qy)exp(-jkz) ・・・・・(2.3)
　が得られる。ここで、α,β,α',β',p,q,k(p,q,k≧0) は定数で、x,yについては境界条件を満た
　す条件から cos/sin 関数となり、zについては、減衰のない進行波のみ考えるため、上
　のようになり、
　　　p²+q²+k²=(w/c)² ・・・・・・(2.4)
　を満たす(各定数は x,y,zに依存するが略す)。

３．境界条件

　導体の表面で電界の接線成分は０だから、
　　　E_x(x,0,z)=E_x(x,b,z)=0 , E_y(0,y,z)=E_y(a,y,z)=0・・・・・(3.1)
　　　E_z(x,0,z)=E_z(x,b,z)=0 , E_z(0,y,z)=E_z(a,y,z)=0・・・・・(3.2)
　であるが、(3.1)と(2.2)式の後者から
　　　A_x(x,0,z)=A_x(x,b,z)=0 , A_y(0,y,z)=A_y(a,y,z)=0・・・・・(3.3)
　を得る。これから
　　　∂_xA_x(x,0,z)=∂_xA_x(x,b,z)=0 , ∂_yA_y(0,y,z)=∂_yA_y(a,y,z)=0・・・・・(3.4)
　となる。

　さらに(3.2)と(2.2)式の後者から
　　　A_z(0,y,z)=A_z(a,y,z)=0 , A_z(x,0,z)=A_z(x,b,z)=0 , ・・・・・(3.5)
　となる。

４．TE波(E_z=0)

　解析可能とするため、E_z=0 という条件を追加した TE波の解を求める。
　すると、(2.2)式から、
　　　A_z=0 ・・・・・・・・(4.1)
　となる。つぎに、x成分の解は(2.3)式から
　　　A_x=(αcos px+βsin px)(α'cos qy+β'sin qy)exp(-jkz)
　となる。すると境界条件(3.1)式の前者から
　　　A_x=(αcos px+βsin px)sin qy exp(-jkz) , q=nπ/b (n=0,1,2,・・・)・・・・(4.2)
　となる(n<0 はα,βに含められる)。

　(4.1)式とクーロンゲージから
　　　∂_xA_x=-∂_yA_y　・・・・・・・・・・・(4.3)　
　となり、(3.4)式の後者により
　　　∂_xA_x({⁰_a},y,z)=-∂_yA_y({⁰_a},y,z)=0
　となる。この第一項を(4.2)式に使うと
　　　A_x=qA₀cos px sin qy exp(-jkz) , p=mπ/a (m=0,1,2,・・・)・・・・(4.4)
　を得る(ここで、α → qA₀とした)。(4.4)式を微分して積分すると
　　　A_y=∫-∂_xA_xdy=∫qA₀p sin px sin qy exp(-jkz) dy
　　　　=-pA₀ sin px cos qy exp(-jkz)+f(x,z)   (fは任意関数)
　となるが、f=0 がうまく説明できない。

　そこで、A_y について同様の議論をすると
　　　A_y=A'₀sin p'x cos q'y exp(-jk'z)
　を得るが、(4.3)式により、A'₀=-A₀ p , p'=p , q'=q , k'=k となる。まとめると
　　　A_x=qA₀ cos px sin qy exp(-jkz)
　　　A_y=-pA₀ sin px cos qy exp(-jkz)
　　　A_z=0
　　　p=mπ/a , q=nπ/b (m,n=0,1,2,・・・) 　・・・・・・(4.5)
　を得る。ただし、m,nは同時に０でない(A=0 となるから)。
　これらを使って(2.2)式から、E,B が計算できる。

５．TM波(H_z=0)

　つぎに、解析可能な、H_z=0 として TM波の解を求める。すると
　　　∂_xA_y-∂_yA_x=0　・・・・・(5.1)
　となる。TE波と同様にA_zについて解くと、境界条件(3.5)式から
　　　A_z=βsin px sin qy exp(-jkz)・・・・・(5.2)
　となる。

　また、TE波と同様に
　　　A_x=(α'cos p'x+β'sin p'x)sin q'y exp(-jk'z)
　　　A_y=sin p''x(α''cos q''y+β''sin q''y) exp(-jk''z)
　を得るが、(5.1)式を使うと、β'=β''=0 , p'=p'', q'=q'', k'=k'' , α''=α'q'/p''=α'q'/p' となり
　　　A_x=α'cos p'x sin q'y exp(-jk'z)
　　　A_y=(q'/p')α'sin p'x cos q'y exp(-jk'z)
　を得る。するとクーロンゲージから ∂_zA_z=-(∂_xA_x+∂_yA_y) となり、(5.2)式と上式を入れる
　と
　　　-jkβ sin px sin qy exp(-jkz)=-α'(-p'sin p'x sin q'y -(q'/p')q'sin p'x sin q'y)exp(-jk'z)
　　　　　=α'(p'+(q'²/p')) sin p'x sin q'y exp(-jk'z)=α'((p'²+q'²)/p') sin p'x sin q'y exp(-jk'z)
　この両辺を比較すると
　　　p'=p , q'=q , k'=k , -jkβ=α'((p'²+q'²)/p')=α'((p²+q²)/p) 
　となる。

　まとめると、β → A₀ として
　　　A_x={ -jkp/(p²+q²) }A₀ cos px sin qy exp(-jkz)
　　　A_y={ -jkq/(p²+q²) }A₀ sin px cos qy exp(-jkz)
　　　A_z=A₀ sin px sin qy exp(-jkz)
　となる。なお、
　　　p=mπ/a , q=nπ/b (m,n=1,2,・・・)
　である。m,nのいずれかが 0 のときは、A=0 なので、除去。

６．あとがき

　E,Hの計算では、E_z,H_z から電磁界成分が計算できるのに対し、Aの計算では、境界条
　件のAへの移し替えや計算が面倒で簡潔でない。

以上