円筒側面を転がる円板が側面を離れる位置

1.　まえがき

　図のような円筒側面を転がり落ちる円板が側面を離れる位置を求める問題があった。
　これを求めてみる。

2.　条件

　半径aの円筒の中心軸が水平に置かれている。この上を半径b、質量mの円板が円筒の
　頂点から滑りが無く転がり落ちるとき、円筒の側面から離れる位置を求める。

　鉛直からの円板重心までの角度をθ、鉛直から円板の回転角度をφとし、円板にかかる
　摩擦力をF、円筒からの抗力をRとする。円板の重心周りの慣性モーメントは mb²/2
　である。重力の加速度をgとする。



3.　計算

　3.1　円筒が回転しない時

　　円板重心のθ方向の運動方程式は　　　　　　m(a+b)θ''=mgsinθ-F・・・・・①
　　円板重心の半径方向の運動方程式は　　　　　m(a+b)θ'²=mgcosθ-R・・・・②
　　円板の重心を中心とする回転の運動方程式は　(mb²/2)φ''=bF・・・・・・・③
　　となる。

　　また、円板の回転弧長CBD=弧CB+弧BD=bφ は、滑りが無いので 弧BD=弧AB=aθ
　　であり、弧CBの角度はθだから、弧CB=bθ となり
　　　　bφ=aθ+bθ=(a+b)θ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・④
　　となる。④➂から F={m(a+b)/2}θ'' となり、これを①に入れると
　　　　(3/2)m(a+b)θ''=mgsinθ
　　この両辺にθ' を掛けて、積分し、θ(0)=θ'(0)=0 を使うと
　　　　(3/4)m(a+b)θ'²=mg(1-cosθ)
　　これを②に入れると
　　　　R=mgcosθ-(4/3)mg(1-cosθ)=(mg/3)(7cosθ-4)
　　を得る。円筒から離れるときは抗力が無くなる時なので、R=0 つまり
　　　　cosθ=4/7
　　となるときである。

　3.2　円筒が回転する時

　　円筒が摩擦の無い中心軸によって回転するときは、円筒の慣性モーメントと回転角
　　を ma²、αとすると、円板の回転弧長は 円筒の回転分 aαだけ少なくなるから
　　　　bφ=aθ+bθ-aα=(a+b)θ-aα・・・・・・・・・・⑤
　　となる。また、円筒の回転の運動方程式は
　　　　ma²α''=aF・・・・・・・・・・・・・・・・・⑥
　　となる。その他の運動方程式①～➂はそのまま成り立つ。

　　➂⑥から aα''=F/m=(b/2)φ'' となる。これを⑤を２回微分したものにこれを入れて、
　　αを消すと
　　　　bφ''=(a+b)θ''-(b/2)φ'' → bφ''=(2/3)(a+b)θ''
　　となり、➂に入れると
　　　　F=(m/3)(a+b)θ''
　　となる。これを①に入れると
　　　　m(a+b)θ''=mgsinθ-(m/3)(a+b)θ'' → (4/3)m(a+b)θ''=mgsinθ

　　この両辺にθ' を掛けて、積分し、θ(0)=θ'(0)=0 を使うと
　　　　(2/3)m(a+b)θ'²=mg(1-cosθ)
　　これを②に入れると
　　　　R=mgcosθ-(3/2)mg(1-cosθ)=(mg/2)(5cosθ-3)
　　を得る。円筒から離れるときは抗力が無くなる時なので、R=0 つまり
　　　　cosθ=3/5
　　となるときである。

以上