リーマン・ゼータ関数の個人的な研究

リーマン・ゼータ関数の個人的な研究

ζ(s) = Σ [n = 1 → ∞] n^-s (s ∈ C) 以下[n = 1 → ∞] は省略
ζ(s) = Σ n^-s (s ∈ C)

s ∈ C より s = a + ib とおくと
n^{-a - ib} = e^{(-a - ib)log(n)} = e^-alog(n)・e^-i・blog(n)

オイラーの公式 e^ix = cos(x) + i・sin(x) より

= e^-alog(n)・{cos(-blog(n)) + i・sin(-blog(n))}
= e^-alog(n)・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))}　・・・①


または、
s ∈ C より s = r(cos(α) + i・sin(α)) とおくと
n^{-(r(cos(α) + i・sin(α))log(n)} = e^{-rcos(α)log(n)}・e^{-i・rsin(α)log(n)}
= e^{-rcos(α)log(n)}・{cos(-rsin(α)log(n)) + i・sin(-rsin(α)log(n))}
= e^{-rcos(α)log(n)}・{cos(rsin(α)log(n)) - i・sin(rsin(α)log(n))}


リーマン予想だと s = 1/2 + ib なので、①より
ζ(1/2 + ib) = Σe^{-(1/2)・log(n)}・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))}
= Σe^-log(√n)・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))}

ζ(1/2 + ib) = Σe^-log(√n)・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))} = 0 となるのが予想ですね。

また、a = 2, b = 0 のとき
ζ(2) = Σe^-2・log(n) = π²/6

研究はここまで。