東大数学 前期(2009)_(3)

＜③の問題＞
スイッチを１回押すごとに、赤、青、黄、白のいずれかの色の玉が１個、等確率1/4で出てくる機械がある。　２つの箱 L と R を用意する。　次の３種類の操作を考える。
（A）１回スイッチを押し、出てきた玉を L に入れる。
（B）１回スイッチを押し、出てきた玉を R に入れる。
（C）１回スイッチを押し、出てきた玉と同じ色の玉が、L になければその玉を L に入れ、L にあればその玉を R に入れる。

（１）L と R は空であるとする。　操作（A)を５回おこない、さらに操作（B）を５回おこなう。　このとき L も R にも４色すべての玉が入っている確率 P₁ を求めよ。
（２）L と R は空であるとする。　操作（C)を５回おこなう。　このとき L に４色すべて玉が入っている確率 P₂ を求めよ。
（３）L と R は空であるとする。　操作（C)を１０回おこなう。　このとき L にも R にも４色すべての玉が入っている確率 P₃ とする。　P₃/P₁ を求めよ。


＜解答＞
（１）
L に４色そろうのは、赤、青、黄、白のうちの１色が２回、他が各１回・・・①　出るとき。
どの色が２回かで４通り、赤赤青黄白の場合、これからの順序は5!/2!=5・4・3通り。
他の場合も同様で、L に４色そろう確率は、 4 × 5・4・3 / 4⁵ = 15/64 ・・・②
R に４色そろう確率も②と同じで、P₁ = ②²

（２）
L に４色そろうのは①の場合で、P₂ = ② = 15/64

（３）
L も R も４色そろうのは各色が２回以上出る場合で、どの色が何回でるかは、次の２タイプ：
１）２回、２回、２回、４回
２）２回、２回、３回、３回
１）のとき：どの色が４回かで４通り。
赤２回、青２回、黄２回、白４回の場合、赤、青、黄が何回目かは₁₀C₂・₈C₂・₆C₂ = 45・28・15通り。
他の場合も同様。
２）のとき：どの色が２回かで₄C₂=６通り、赤２回、青２回、黄３回、白３回の場合、赤、青、黄が何回目かは₁₀C₂・₈C₂・₆C₃ = 45・28・20通り。
他の場合も同様。
以上から、P₃ = (4 × 45・28・15 + 6 × 45・28・20) / 4¹⁰
また、P₁ = (4 × 5・4・3)² / 4¹⁰ だから
P₃/P₁ = (4 × 45・28・15 + 6 × 45・28・20) / (4 × 5・4・3)² = (7・3 + 6・7) / 4・4 = 63/16