日常のブログを作成しました。
キリスト教、将棋、数学、IT、語学以外の話題、日常の話題などを書きたいと思います。
キリスト教、将棋、数学、IT、語学以外の話題、日常の話題などを書きたいと思います。
クリスマスですね。
いかがお過ごしですか？
＜聖書の箇所＞
天使は、彼女のところに来て言った。
「おめでとう、恵まれた方。主があなたと共におられる。」
マリアはこの言葉に戸惑い、いったいこの挨拶は何のことかと考え込んだ。
すると、天使は言った。
「マリア、恐れることはない。あなたは神から恵みをいただいた。
あなたは身ごもって男の子を産むが、その子をイエスと名付けなさい。
その子は偉大な人になり、いと高き方の子と言われる。
神である主は、彼に父ダビデの王座をくださる。
彼は永遠にヤコブの家を治め、その支配は終わることがない。」
===== ルカによる福音書 １章 ２８－３３節（新共同訳） =====
いかがお過ごしですか？
＜聖書の箇所＞
天使は、彼女のところに来て言った。
「おめでとう、恵まれた方。主があなたと共におられる。」
マリアはこの言葉に戸惑い、いったいこの挨拶は何のことかと考え込んだ。
すると、天使は言った。
「マリア、恐れることはない。あなたは神から恵みをいただいた。
あなたは身ごもって男の子を産むが、その子をイエスと名付けなさい。
その子は偉大な人になり、いと高き方の子と言われる。
神である主は、彼に父ダビデの王座をくださる。
彼は永遠にヤコブの家を治め、その支配は終わることがない。」
===== ルカによる福音書 １章 ２８－３３節（新共同訳） =====
リーマン・ゼータ関数をζ(s) の s が自然数の和を考察したいと思います。
リーマン・ゼータ関数と区別するため、次のように定義をします。
ここで、[i = 1 → n] を省略して、Σ [i = 1 → n] ik = Σ ik と書く。
S[k] ≡ 1k + 2k + ..... + nk = Σ ik
※k は指数部であり、自然数です。
******************************
k = 1 のとき
S[1] = 1 + 2 + ..... + n = n(n + 1)/2 ・・・①
k = 2 のとき
(i + 1)3 - i3 = 3C1i2 + 3C2i + 1
(i + 1)3 - i3 = 3i2 + 3i + 1
両辺にΣをして
(n + 1)3 - 1 = 3Σi2 + 3Σi + Σ1
(n + 1)3 - 1 = 3S[2] + 3S[1] + n
3S[2] = (n + 1)3 - 1 - 3S[1] - n
3S[2] = (n + 1)3 - 1 - 3n(n + 1)/2 - n
3S[2] = n3 + 3n2 + 3n + 1 - 1 + 3n2/2 + 3n/2 - n
3S[2] = n3 + 3n2/2 + n/2
3S[2] = n(2n2 + 3n + 1)/2
3S[2] = n(n + 1)(2n + 1)/2
よって、
S[2] = n(n + 1)(2n + 1)/6 ・・・②
******************************
次にS[k] にn(n + 1)を因数に持つことを示す。
(i + 1)k+1 - ik+1 = k+1C1ik + k+1C2ik-1 + ..... + k+1Cki + 1
両辺にΣをして
(n + 1)k+1 - 1 = k+1C1S[k] + k+1C2S[k-1] + ..... + k+1CkS[1] + n
n を移項して
(n + 1)k+1 - (n + 1) = k+1C1S[k] + k+1C2S[k-1] + ..... + k+1CkS[1]
(n + 1){(n + 1)k - 1} = k+1C1S[k] + k+1C2S[k-1] + ..... + k+1CkS[1] ・・・③
ここで、
(an - bn) = (a - b)(an-1 + an-2b + ..... + abn-2 + bn-1) より
(an - bn) は、(a - b) を因数に持つので、
{(n + 1)k - 1} は、(n + 1) - 1 = n を因数に持つ。
よって、(n + 1){(n + 1)k - 1} は、n(n + 1) を因数に持つ。
①、②より
S[1] = n(n + 1)・1/2
S[2] = n(n + 1)・(2n + 1)/6
なので、③よりS[k] は、n(n + 1) を因数に持つことが分かる。
******************************
S[k] = n(n + 1)P[k], P[1] = 1/2C1 とおくと
③より
(n + 1){(n + 1)k - 1} = k+1C1n(n + 1)P[k] + k+1C2n(n + 1)P[k-1] + ..... + k+1Ckn(n + 1)P[1]
両辺をn(n + 1) より割ると
{(n + 1)k - 1}/n = k+1C1P[k] + k+1C2P[k-1] + ..... + k+1CkP[1] ・・・④
ここで、
X[k] = {(n + 1)k - 1}/n
A[k, i] = k+1Ck-(i-1) とおくと
④より
X[k] = A[k, k]P[k] + A[k, k-1]P[k-1] + ..... + A[k, 1]P[1] ・・・⑤
ここで、
Y[k] = X[k] / A[k, k]
B[k, i] = A[k, i] / A[k, k] とおくと
⑤より
Y[k] = P[k] + B[k, k-1]P[k-1] + ..... + B[k, 1]P[1]
よって
Y[1] = P[1]
Y[2] = B[2, 1]P[1] + P[2]
.....
Y[k] = B[k, 1]P[1] + B[k, 2]P[2] + ..... + P[k]
この連立方程式は、行列として表すことが出来る。 その時、三角行列となる。
リーマン・ゼータ関数と区別するため、次のように定義をします。
ここで、[i = 1 → n] を省略して、Σ [i = 1 → n] ik = Σ ik と書く。
S[k] ≡ 1k + 2k + ..... + nk = Σ ik
※k は指数部であり、自然数です。
******************************
k = 1 のとき
S[1] = 1 + 2 + ..... + n = n(n + 1)/2 ・・・①
k = 2 のとき
(i + 1)3 - i3 = 3C1i2 + 3C2i + 1
(i + 1)3 - i3 = 3i2 + 3i + 1
両辺にΣをして
(n + 1)3 - 1 = 3Σi2 + 3Σi + Σ1
(n + 1)3 - 1 = 3S[2] + 3S[1] + n
3S[2] = (n + 1)3 - 1 - 3S[1] - n
3S[2] = (n + 1)3 - 1 - 3n(n + 1)/2 - n
3S[2] = n3 + 3n2 + 3n + 1 - 1 + 3n2/2 + 3n/2 - n
3S[2] = n3 + 3n2/2 + n/2
3S[2] = n(2n2 + 3n + 1)/2
3S[2] = n(n + 1)(2n + 1)/2
よって、
S[2] = n(n + 1)(2n + 1)/6 ・・・②
******************************
次にS[k] にn(n + 1)を因数に持つことを示す。
(i + 1)k+1 - ik+1 = k+1C1ik + k+1C2ik-1 + ..... + k+1Cki + 1
両辺にΣをして
(n + 1)k+1 - 1 = k+1C1S[k] + k+1C2S[k-1] + ..... + k+1CkS[1] + n
n を移項して
(n + 1)k+1 - (n + 1) = k+1C1S[k] + k+1C2S[k-1] + ..... + k+1CkS[1]
(n + 1){(n + 1)k - 1} = k+1C1S[k] + k+1C2S[k-1] + ..... + k+1CkS[1] ・・・③
ここで、
(an - bn) = (a - b)(an-1 + an-2b + ..... + abn-2 + bn-1) より
(an - bn) は、(a - b) を因数に持つので、
{(n + 1)k - 1} は、(n + 1) - 1 = n を因数に持つ。
よって、(n + 1){(n + 1)k - 1} は、n(n + 1) を因数に持つ。
①、②より
S[1] = n(n + 1)・1/2
S[2] = n(n + 1)・(2n + 1)/6
なので、③よりS[k] は、n(n + 1) を因数に持つことが分かる。
******************************
S[k] = n(n + 1)P[k], P[1] = 1/2C1 とおくと
③より
(n + 1){(n + 1)k - 1} = k+1C1n(n + 1)P[k] + k+1C2n(n + 1)P[k-1] + ..... + k+1Ckn(n + 1)P[1]
両辺をn(n + 1) より割ると
{(n + 1)k - 1}/n = k+1C1P[k] + k+1C2P[k-1] + ..... + k+1CkP[1] ・・・④
ここで、
X[k] = {(n + 1)k - 1}/n
A[k, i] = k+1Ck-(i-1) とおくと
④より
X[k] = A[k, k]P[k] + A[k, k-1]P[k-1] + ..... + A[k, 1]P[1] ・・・⑤
ここで、
Y[k] = X[k] / A[k, k]
B[k, i] = A[k, i] / A[k, k] とおくと
⑤より
Y[k] = P[k] + B[k, k-1]P[k-1] + ..... + B[k, 1]P[1]
よって
Y[1] = P[1]
Y[2] = B[2, 1]P[1] + P[2]
.....
Y[k] = B[k, 1]P[1] + B[k, 2]P[2] + ..... + P[k]
この連立方程式は、行列として表すことが出来る。 その時、三角行列となる。
おいらーは、数学が好きだー。
兄さんが、数学の勉強中、昼、ベルトを締めなおす。
秋の山を見て、ジーンときた。
この蚊、オスだ。
数学の虚しい愛。
パイはいいね。
咲いたコスモス。
ほぅ、ブツブツと銭湯の中で１人ごと。
この戦車の台数は、軍艦の艦隊だ。
数学は、野原のフィールドですると楽しい。
私の親父ギャクでした。
＜親父ギャクの解説＞
数学者 オイラー(1707-1783) オイラーの公式など多くの定理があります。
> おいらーは、数学が好きだー。
>> 「オイラー」は、数学が好きだー。
数学者 ヒルベルト(1862-1943)
1900年のパリの国際数学者会議において、「ヒルベルトの23の問題」を発表した。
> 兄さんが、数学の勉強中、昼、ベルトを締めなおす。
>> 「23」が、数学の勉強中、「ヒルベルト」を締めなおす。
数学者 秋山仁（あきやま じん）
> 秋の山を見て、ジーンときた。
>> 「秋」の「山」を見て、「仁」ときた。
カオス 混沌という意味から、カオス・フラクタルの分野が発達しました。
> この蚊、オスだ。
>> この「カオス」だ。
虚数 i 定義は、i^2 = -1
> 数学の虚しい愛。
>> 数学の「虚」しい「i」。
円周率π π=3.14159265358979.....
小学生から馴染みが深い数だか、e^(πi) + 1 = 0、超越数など、神秘な的数。
> パイはいいね。
>> 「π」はいいね。
sin(x), cos(x) 高校の時に、三角比、三角関数として習います。
加法定理より、sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
咲いたコスモス、コスモス咲いたと語呂合わせで覚える。
> 咲いたコスモス。
>> 「sin」「cos」
放物線 y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) (a, b, c ∈ R)
中学から馴染みのある関数の１つ。
身近な所では、ボールを投げると、その軌跡が放物線です。
> ほぅ、ブツブツと銭湯の中で１人ごと。
>> 「放物線の中で」１人ごと。
代数学の基礎の「群論、環論、体論」を大学で習います。
> この戦車の台数は、軍艦の艦隊だ。
>> この戦車の「代数」は、「群」「環」の「環」「体」だ。
物理、化学などでは、ノーベル賞がありますが、数学にはありません。
数学では、フィールズ賞があります。
日本の受賞者は、小平 邦彦 (1954)、広中 平祐 (1970)、森 重文 (1990)の３人です。
> 数学は、野原のフィールドですると楽しい。
>> 数学は、野原の「フィールズ」ですると楽しい。
兄さんが、数学の勉強中、昼、ベルトを締めなおす。
秋の山を見て、ジーンときた。
この蚊、オスだ。
数学の虚しい愛。
パイはいいね。
咲いたコスモス。
ほぅ、ブツブツと銭湯の中で１人ごと。
この戦車の台数は、軍艦の艦隊だ。
数学は、野原のフィールドですると楽しい。
私の親父ギャクでした。
＜親父ギャクの解説＞
数学者 オイラー(1707-1783) オイラーの公式など多くの定理があります。
> おいらーは、数学が好きだー。
>> 「オイラー」は、数学が好きだー。
数学者 ヒルベルト(1862-1943)
1900年のパリの国際数学者会議において、「ヒルベルトの23の問題」を発表した。
> 兄さんが、数学の勉強中、昼、ベルトを締めなおす。
>> 「23」が、数学の勉強中、「ヒルベルト」を締めなおす。
数学者 秋山仁（あきやま じん）
> 秋の山を見て、ジーンときた。
>> 「秋」の「山」を見て、「仁」ときた。
カオス 混沌という意味から、カオス・フラクタルの分野が発達しました。
> この蚊、オスだ。
>> この「カオス」だ。
虚数 i 定義は、i^2 = -1
> 数学の虚しい愛。
>> 数学の「虚」しい「i」。
円周率π π=3.14159265358979.....
小学生から馴染みが深い数だか、e^(πi) + 1 = 0、超越数など、神秘な的数。
> パイはいいね。
>> 「π」はいいね。
sin(x), cos(x) 高校の時に、三角比、三角関数として習います。
加法定理より、sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
咲いたコスモス、コスモス咲いたと語呂合わせで覚える。
> 咲いたコスモス。
>> 「sin」「cos」
放物線 y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) (a, b, c ∈ R)
中学から馴染みのある関数の１つ。
身近な所では、ボールを投げると、その軌跡が放物線です。
> ほぅ、ブツブツと銭湯の中で１人ごと。
>> 「放物線の中で」１人ごと。
代数学の基礎の「群論、環論、体論」を大学で習います。
> この戦車の台数は、軍艦の艦隊だ。
>> この戦車の「代数」は、「群」「環」の「環」「体」だ。
物理、化学などでは、ノーベル賞がありますが、数学にはありません。
数学では、フィールズ賞があります。
日本の受賞者は、小平 邦彦 (1954)、広中 平祐 (1970)、森 重文 (1990)の３人です。
> 数学は、野原のフィールドですると楽しい。
>> 数学は、野原の「フィールズ」ですると楽しい。
各位の和が３の倍数ならば、その数は３の倍数ということ。
＜３の倍数の証明＞
X = 10^n・a1 + 10^(n-1)・a2 + ..... + 10・an-1 + an とおくと
（n：自然数、1 ≦ j ≦ n：自然数 ： 0 ≦ aj ≦ 9：自然数）
次の合同式について
10^n ≡ 1 (mod 3) より
X ≡ 10^n・a1 + 10^(n-1)・a2 + ..... + 10・an-1 + an (mod 3)
X ≡ a1 + a2 + ..... + an-1 + an (mod 3)
よって、
a1 + a2 + ..... + an-1 + an ≡ 0 (mod 3) のときに３の倍数となる。
＜３けたの場合の証明＞
X = 100・a1 + 10・a2 + a3
次の合同式について
100 ≡ 1 (mod 3)
10 ≡ 1 (mod 3)
X ≡ 100・a1 + 10・a2 + a3 (mod 3)
X ≡ a1 + a2 + a3 (mod 3)
よって、
a1 + a2 + a3 ≡ 0 (mod 3)
＜合同式について＞
17 ÷ 3 = 5 ... 2 です。
合同式は、余りの「2」に注目します。
合同式で書くと次のように書きます。
17 ≡ 2 (mod 3)
次の合同式を考えてみます。
23 ≡ 2 (mod 7)
12 ≡ 5 (mod 7)
（両辺を足し算をしてみる）
23 + 12 ≡ 35 ≡ 0 (mod 7)
2 + 5 ≡ 7 ≡ 0 (mod 7)
（両辺を掛け算をしてみる）
23 × 12 ≡ 276 ≡ 3 (mod 7)
2 × 5 ≡ 10 ≡ 3 (mod 7)
次の性質が成り立つ
X ≡ x (mod n)
Y ≡ y (mod n)
X + Y ≡ x + y (mod n)
X × Y ≡ x × y (mod n)
＜３の倍数の証明＞
X = 10^n・a1 + 10^(n-1)・a2 + ..... + 10・an-1 + an とおくと
（n：自然数、1 ≦ j ≦ n：自然数 ： 0 ≦ aj ≦ 9：自然数）
次の合同式について
10^n ≡ 1 (mod 3) より
X ≡ 10^n・a1 + 10^(n-1)・a2 + ..... + 10・an-1 + an (mod 3)
X ≡ a1 + a2 + ..... + an-1 + an (mod 3)
よって、
a1 + a2 + ..... + an-1 + an ≡ 0 (mod 3) のときに３の倍数となる。
＜３けたの場合の証明＞
X = 100・a1 + 10・a2 + a3
次の合同式について
100 ≡ 1 (mod 3)
10 ≡ 1 (mod 3)
X ≡ 100・a1 + 10・a2 + a3 (mod 3)
X ≡ a1 + a2 + a3 (mod 3)
よって、
a1 + a2 + a3 ≡ 0 (mod 3)
＜合同式について＞
17 ÷ 3 = 5 ... 2 です。
合同式は、余りの「2」に注目します。
合同式で書くと次のように書きます。
17 ≡ 2 (mod 3)
次の合同式を考えてみます。
23 ≡ 2 (mod 7)
12 ≡ 5 (mod 7)
（両辺を足し算をしてみる）
23 + 12 ≡ 35 ≡ 0 (mod 7)
2 + 5 ≡ 7 ≡ 0 (mod 7)
（両辺を掛け算をしてみる）
23 × 12 ≡ 276 ≡ 3 (mod 7)
2 × 5 ≡ 10 ≡ 3 (mod 7)
次の性質が成り立つ
X ≡ x (mod n)
Y ≡ y (mod n)
X + Y ≡ x + y (mod n)
X × Y ≡ x × y (mod n)
次の数のどれが３の倍数なのか、分かりますか？
１）5013
２）541
３）3052
４）441
５）3024
答えは、5013、441、3024です。
家庭教師で中学生に指導するときに、意外と知らなかったです。
各位の和が３の倍数ならば、その数は３の倍数ということ。
１）5013 ⇒ 5 + 0 + 1 + 3 = 9
２）541 ⇒ 5 + 4 + 1 = 10
３）3052 ⇒ 3 + 0 + 5 + 2 = 10
４）441 ⇒ 4 + 4 + 1 = 9
５）3024 ⇒ 3 + 0 + 2 + 4 = 9
少し、意外でした。
１）5013
２）541
３）3052
４）441
５）3024
答えは、5013、441、3024です。
家庭教師で中学生に指導するときに、意外と知らなかったです。
各位の和が３の倍数ならば、その数は３の倍数ということ。
１）5013 ⇒ 5 + 0 + 1 + 3 = 9
２）541 ⇒ 5 + 4 + 1 = 10
３）3052 ⇒ 3 + 0 + 5 + 2 = 10
４）441 ⇒ 4 + 4 + 1 = 9
５）3024 ⇒ 3 + 0 + 2 + 4 = 9
少し、意外でした。
NHK教育の「テストの花道」の番組を見ました。
東京大学、早稲田大学へ入学した方の受験勉強が紹介されていました。
共通して言えることは、「敵を知り、己を知れば、百戦危うからず」だと思いました。
それと、「継続は力なり」と思いました。
敵とは、大学の過去問（赤本）です。
己とは、自分の成績です。
大事なことは、今の自分のレベルで大学の過去問がどれだけ解けて、何が解けないのか？
これを自分で理解することにあると思います。
高校の教科書の内容と、大学入試には開きがあります。
また、大学によって入試の問題の傾向があります。
いくら高校の教科書が出来ても、入試にあった勉強方法をしていないと合格が出来ないです。
数学の勉強の基本は、教科書の基本例題がまんべんなく解けて、大学によっての傾向を理解して、それに合わせて問題を解くことです。
教科書の基本例題と大学の過去問を繰り返し解くことです。
東京大学に合格した方は、教科書の基本例題は解けたけど、東大入試の傾向に合わせて勉強をしなかったので、不合格でした。
それで、東大入試に合わせた勉強をして合格をしました。
早稲田大学に合格した方は、１度過去問を見て、これは参考書（標準問題）の例題レベルだと分かったようです。
後は、ひたすら教科書の理解と参考書の例題を繰り返し解きました。
やはり、過去問をみて自分に合った勉強方法を見つけることが大事だと思いました。
「敵を知り、己を知れば、百戦危うからず」と「継続は力なり」が重要だと思いました。
東京大学、早稲田大学へ入学した方の受験勉強が紹介されていました。
共通して言えることは、「敵を知り、己を知れば、百戦危うからず」だと思いました。
それと、「継続は力なり」と思いました。
敵とは、大学の過去問（赤本）です。
己とは、自分の成績です。
大事なことは、今の自分のレベルで大学の過去問がどれだけ解けて、何が解けないのか？
これを自分で理解することにあると思います。
高校の教科書の内容と、大学入試には開きがあります。
また、大学によって入試の問題の傾向があります。
いくら高校の教科書が出来ても、入試にあった勉強方法をしていないと合格が出来ないです。
数学の勉強の基本は、教科書の基本例題がまんべんなく解けて、大学によっての傾向を理解して、それに合わせて問題を解くことです。
教科書の基本例題と大学の過去問を繰り返し解くことです。
東京大学に合格した方は、教科書の基本例題は解けたけど、東大入試の傾向に合わせて勉強をしなかったので、不合格でした。
それで、東大入試に合わせた勉強をして合格をしました。
早稲田大学に合格した方は、１度過去問を見て、これは参考書（標準問題）の例題レベルだと分かったようです。
後は、ひたすら教科書の理解と参考書の例題を繰り返し解きました。
やはり、過去問をみて自分に合った勉強方法を見つけることが大事だと思いました。
「敵を知り、己を知れば、百戦危うからず」と「継続は力なり」が重要だと思いました。
１０月に入り、洋服も衣替えの季節を迎えました。
ブログも衣替えをしてみました。
秋は、読書の秋、スポーツの秋、食欲の秋ですね＾＾
過ごしやすい季節になりますね＾＾
ブログも衣替えをしてみました。
秋は、読書の秋、スポーツの秋、食欲の秋ですね＾＾
過ごしやすい季節になりますね＾＾
最近は、司法書士の勉強、語学の勉強などをして、記憶力が弱いと実感します。
数学、将棋、プログラマーなどをしていたから、自分から考えることは好きなのですが、暗記がどうも苦手です。
記憶力は、左利きも影響をしているようです。
＜左脳記憶（右利き）＞
・文字や数字による記憶
＜右脳記憶（左利き）＞
・イメージによる記憶
記憶力のアップをしたいです。
数学、将棋、プログラマーなどをしていたから、自分から考えることは好きなのですが、暗記がどうも苦手です。
記憶力は、左利きも影響をしているようです。
＜左脳記憶（右利き）＞
・文字や数字による記憶
＜右脳記憶（左利き）＞
・イメージによる記憶
記憶力のアップをしたいです。
中学１年生に、プラスとマイナスで教えるときに悩むことはありませんか？
また中学１年生でも、プラスとマイナスが分かりづらい学生はいないですか？
今日は、中学１年生に分かり易いように解説をしたいと思います。
１）数の概念を広げる
２）計算の法則
が中心のお話になると思います。
１）数の概念を広げる
小学生までは、１、２、３、４、５、・・・ と数えていました。
この時は、どのように数えていましたか？
１つづつ追加して数えていると思います。
１ ⇒ １＋１＝２ ⇒ ２＋１＝３ ⇒ ３＋１＝４ ⇒ ４＋１＝５ ⇒ ・・・
のように考えて数えていると思います。
もしかすると無意識かもしれませんけど。
これの逆のことをします。
つまり、１つづつ引いていきます。
５、４、３、２、１、０、－１、－２、－３、－４、－５、
これで、マイナスの数が増えていきましたね。
たったこれだけで、数の概念が広がります。
これを整理すると、次のようになります。
・・・、－５、－４、－３、－２、－１、０、＋１、＋２、＋３、＋４、＋５、・・・
純粋に数学をしている方は、数の概念の広がりを感じて面白いと感じます。
しかし、文系の方や数学に興味がない方は、これにはどんな意味があるのだろうか？
疑問を感じることが多いと思います。
マイナスが増えると、どんなことに使えるでしょうか？
簡単な例では、温度を正確に測れるようになります。
氷の温度とか、氷点下と言われている温度のことです。
後は、ゼロを基準に考えると分かり易いことが多くあります。
５人の身長を考えてみましょう。
Aさんは、133cm
Bさんは、138cd
Cさんは、135cm
Dさんは、140cd
Eさんは、130cm
実はどれでも良いのですが、Cさんの135cmを基準にしてみます。（ゼロとみることにします）
Aさんは、-2cm
Bさんは、+3cd
Cさんは、0cm
Dさんは、+5cd
Eさんは、-5cm
とみると、差がどれくらいなのかが分かるようになります。
何かを基準にしてみて、その差を表す時に、マイナスが分かると便利なんですね。
マイナスを勉強をすると、とても便利になります。
２）計算の法則
次の計算を考えてみます。
（＋５）×（＋２）＝ ＋１０
（＋４）×（＋２）＝ ＋８
（＋３）×（＋２）＝ ＋６
（＋２）×（＋２）＝ ＋４
（＋１）×（＋２）＝ ＋２
０ ×（＋２）＝ ０
（－１）×（＋２）＝ －２
（－２）×（＋２）＝ －４
（－３）×（＋２）＝ －６
（－４）×（＋２）＝ －８
（－５）×（＋２）＝ －１０
結果をみると、２づつ引いていますね。
例えば、（－３）×（＋２）＝ －６ は自然と理解できますね。
さて、次の計算をしてみます。
（＋５）×（－２）＝ －１０
（＋４）×（－２）＝ －８
（＋３）×（－２）＝ －６
（＋２）×（－２）＝ －４
（＋１）×（－２）＝ －２
０ ×（－２）＝ ０
（－１）×（－２）＝ ＋２
（－２）×（－２）＝ ＋４
（－３）×（－２）＝ ＋６
（－４）×（－２）＝ ＋８
（－５）×（－２）＝ ＋１０
結果だけをみると、＋２づつ加えていますね。
（－３）×（－２）＝＋６ となることが分かりました。
このように計算をすると、なぜ、マイナスとマイナスをかけるとプラスになるのかが分かります。
次のように考えても、良いです。
「＋」は向きが同じになる、「－」は向きが逆になる
（＋２）×（＋３）＝ ＋６ （＋）×（＋）＝（＋）
（－２）×（＋３）＝ －６ （－）×（＋）＝（－）
「＋」の場合には、向きが同じになります。
（＋）⇒（＋）、（－）⇒（－）
（＋２）×（－３）＝ －６ （＋）×（－）＝（－）
（－２）×（－３）＝ ＋６ （－）×（－）＝（＋）
「－」の場合には、向きが逆になります。
（＋）⇒（－）、（－）⇒（＋）
＜まとめ＞
１）数の概念を広げる
ゼロを基準に考えると便利になります。
２）計算の法則
「＋」は向きが同じになる、「－」は向きが逆になる
また中学１年生でも、プラスとマイナスが分かりづらい学生はいないですか？
今日は、中学１年生に分かり易いように解説をしたいと思います。
１）数の概念を広げる
２）計算の法則
が中心のお話になると思います。
１）数の概念を広げる
小学生までは、１、２、３、４、５、・・・ と数えていました。
この時は、どのように数えていましたか？
１つづつ追加して数えていると思います。
１ ⇒ １＋１＝２ ⇒ ２＋１＝３ ⇒ ３＋１＝４ ⇒ ４＋１＝５ ⇒ ・・・
のように考えて数えていると思います。
もしかすると無意識かもしれませんけど。
これの逆のことをします。
つまり、１つづつ引いていきます。
５、４、３、２、１、０、－１、－２、－３、－４、－５、
これで、マイナスの数が増えていきましたね。
たったこれだけで、数の概念が広がります。
これを整理すると、次のようになります。
・・・、－５、－４、－３、－２、－１、０、＋１、＋２、＋３、＋４、＋５、・・・
純粋に数学をしている方は、数の概念の広がりを感じて面白いと感じます。
しかし、文系の方や数学に興味がない方は、これにはどんな意味があるのだろうか？
疑問を感じることが多いと思います。
マイナスが増えると、どんなことに使えるでしょうか？
簡単な例では、温度を正確に測れるようになります。
氷の温度とか、氷点下と言われている温度のことです。
後は、ゼロを基準に考えると分かり易いことが多くあります。
５人の身長を考えてみましょう。
Aさんは、133cm
Bさんは、138cd
Cさんは、135cm
Dさんは、140cd
Eさんは、130cm
実はどれでも良いのですが、Cさんの135cmを基準にしてみます。（ゼロとみることにします）
Aさんは、-2cm
Bさんは、+3cd
Cさんは、0cm
Dさんは、+5cd
Eさんは、-5cm
とみると、差がどれくらいなのかが分かるようになります。
何かを基準にしてみて、その差を表す時に、マイナスが分かると便利なんですね。
マイナスを勉強をすると、とても便利になります。
２）計算の法則
次の計算を考えてみます。
（＋５）×（＋２）＝ ＋１０
（＋４）×（＋２）＝ ＋８
（＋３）×（＋２）＝ ＋６
（＋２）×（＋２）＝ ＋４
（＋１）×（＋２）＝ ＋２
０ ×（＋２）＝ ０
（－１）×（＋２）＝ －２
（－２）×（＋２）＝ －４
（－３）×（＋２）＝ －６
（－４）×（＋２）＝ －８
（－５）×（＋２）＝ －１０
結果をみると、２づつ引いていますね。
例えば、（－３）×（＋２）＝ －６ は自然と理解できますね。
さて、次の計算をしてみます。
（＋５）×（－２）＝ －１０
（＋４）×（－２）＝ －８
（＋３）×（－２）＝ －６
（＋２）×（－２）＝ －４
（＋１）×（－２）＝ －２
０ ×（－２）＝ ０
（－１）×（－２）＝ ＋２
（－２）×（－２）＝ ＋４
（－３）×（－２）＝ ＋６
（－４）×（－２）＝ ＋８
（－５）×（－２）＝ ＋１０
結果だけをみると、＋２づつ加えていますね。
（－３）×（－２）＝＋６ となることが分かりました。
このように計算をすると、なぜ、マイナスとマイナスをかけるとプラスになるのかが分かります。
次のように考えても、良いです。
「＋」は向きが同じになる、「－」は向きが逆になる
（＋２）×（＋３）＝ ＋６ （＋）×（＋）＝（＋）
（－２）×（＋３）＝ －６ （－）×（＋）＝（－）
「＋」の場合には、向きが同じになります。
（＋）⇒（＋）、（－）⇒（－）
（＋２）×（－３）＝ －６ （＋）×（－）＝（－）
（－２）×（－３）＝ ＋６ （－）×（－）＝（＋）
「－」の場合には、向きが逆になります。
（＋）⇒（－）、（－）⇒（＋）
＜まとめ＞
１）数の概念を広げる
ゼロを基準に考えると便利になります。
２）計算の法則
「＋」は向きが同じになる、「－」は向きが逆になる
数検１級の問題集を購入しました。
発見Ⅰ －１級攻略－
準１級は取得しましたので、次は１級の勉強をしたいと思いました。
過去問なので、どんな問題が出題されるかが、良く分かります。
１級の分野は、「微分積分学」、「線形代数学」、「複素解析学」、「微分方程式」、「その他」が出題されます。
微分積分学は、大学の範囲なので、ε－δ論法、偏微分、重積分が含まれます。
線形代数学は、高校の２次元ベクトル、３次元ベクトル、（２、２）の行列が、大学ではN次元ベクトル、（N、N）の行列と一般化されます。
複素解析学は、複素数の微分積分学になります。
１級は、範囲が広い感じがします。
少しづつ頑張ろうと思います。
発見Ⅰ －１級攻略－
準１級は取得しましたので、次は１級の勉強をしたいと思いました。
過去問なので、どんな問題が出題されるかが、良く分かります。
１級の分野は、「微分積分学」、「線形代数学」、「複素解析学」、「微分方程式」、「その他」が出題されます。
微分積分学は、大学の範囲なので、ε－δ論法、偏微分、重積分が含まれます。
線形代数学は、高校の２次元ベクトル、３次元ベクトル、（２、２）の行列が、大学ではN次元ベクトル、（N、N）の行列と一般化されます。
複素解析学は、複素数の微分積分学になります。
１級は、範囲が広い感じがします。
少しづつ頑張ろうと思います。
円の面積やっぱり苦手 ３年後も同じミス 全国学力調査（朝日新聞の記事）
円の面積 ＝（半径）×（半径）×（円周率）＝ πr2
円周率 ＝ π ≒ 3.14
※円周率 ＝ π ＝ 3.14159265358979..... と小数は永遠につづく。（無限小数と言います）
円の面積の求め方
円を４等分、８等分、・・・とどんどん分割していきます。
何となくだけど、長方形が出来ますね。
長方形の面積 ＝ （縦）×（横）
円周の長さ ＝ ２×（円周率）×（半径）なので
（縦） ＝ （半径）
（横） ＝ ２×（円周率）×（半径）÷２ ＝ （円周率）×（半径）
円の面積 ＝ （縦）×（横） ＝ （半径）×｛（円周率）×（半径）｝＝ （半径）×（半径）×（円周率）
と考えます。
円の面積 ＝（半径）×（半径）×（円周率）＝ πr2
円周率 ＝ π ≒ 3.14
※円周率 ＝ π ＝ 3.14159265358979..... と小数は永遠につづく。（無限小数と言います）
円の面積の求め方
円を４等分、８等分、・・・とどんどん分割していきます。
何となくだけど、長方形が出来ますね。
長方形の面積 ＝ （縦）×（横）
円周の長さ ＝ ２×（円周率）×（半径）なので
（縦） ＝ （半径）
（横） ＝ ２×（円周率）×（半径）÷２ ＝ （円周率）×（半径）
円の面積 ＝ （縦）×（横） ＝ （半径）×｛（円周率）×（半径）｝＝ （半径）×（半径）×（円周率）
と考えます。