数検１級は、残念ながら不合格でした。
次回、頑張りたいと思います。
次回、頑張りたいと思います。
(1) P(1) が成り立つ
(2) ∀k [P(k) ⇒ P(k+1)] が成り立つ
∀の n のP(n) 成り立つ
論理記号学で書くと、上記のようになります。
私は、[∀k P(k) ⇒ ∀k P(k+1)] と勘違いしていました。
(2) ∀k [P(k) ⇒ P(k+1)] が成り立つ
∀の n のP(n) 成り立つ
論理記号学で書くと、上記のようになります。
私は、[∀k P(k) ⇒ ∀k P(k+1)] と勘違いしていました。
40 - 32 ÷ 2 = ?
答え「4!」
===== 2012/05/03 PM6:15 追記 =====
本当は間違いですが、左から順番に計算をすると、
40 - 32 ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 「×」
かけ算、わり算から計算をすると
40 - 32 ÷ 2 = 40 - 16 = 24 「○」
理系の方は「4!」を見て、「分かっているなぁ」と思う。
文系の方は「4!」を見て、「やっぱり、分かっていないなぁ」と思う。
「!」の解釈が２通りあって、「ビックリ」と「階乗」です。
「ビックリ」と解釈すると、文系の方のように、計算間違いかぁと思う。
「階乗」と解釈すると、理系の方のように、理解していると思う。
「階乗」とは
n! = n × (n-1) × ..... × 3 × 2 × 1
＜例＞
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
40 - 32 ÷ 2 = 24
値が「24」となり
40 - 32 ÷ 2 = 4!
が正しい事が分かります。
答え「4!」
===== 2012/05/03 PM6:15 追記 =====
本当は間違いですが、左から順番に計算をすると、
40 - 32 ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 「×」
かけ算、わり算から計算をすると
40 - 32 ÷ 2 = 40 - 16 = 24 「○」
理系の方は「4!」を見て、「分かっているなぁ」と思う。
文系の方は「4!」を見て、「やっぱり、分かっていないなぁ」と思う。
「!」の解釈が２通りあって、「ビックリ」と「階乗」です。
「ビックリ」と解釈すると、文系の方のように、計算間違いかぁと思う。
「階乗」と解釈すると、理系の方のように、理解していると思う。
「階乗」とは
n! = n × (n-1) × ..... × 3 × 2 × 1
＜例＞
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
40 - 32 ÷ 2 = 24
値が「24」となり
40 - 32 ÷ 2 = 4!
が正しい事が分かります。
＜１次試験の問題＞
問題１. (x-2-3/x)^5を展開したときの定数項を求めなさい。
問題２. 積 sin20°*sin40°*sin60°*sin80°の値を求めなさい(この値は有理数です)。
問題３. xyz空間の1次変換 f: t(x y z) → [[1 -1 2][-2 3 1][0 1 5]]t(x y z) (tは列ベクトル)
によって、直線 (4-x)/3=y-2=(z+1)/2はどのような図形に移るでしょうか。
その図形の方程式を求めなさい。
問題４. 1,2,3のカードがそれぞれ3枚,2枚,1枚あります。この6枚のカードを袋に入れ、中を見ないで2枚のカードを取り出し、その2枚のカードに書かれている数の積をXとするとき、次の問いに答えなさい。
① Xの平均E(X)を求めなさい。
② Xの分散V(X)を求めなさい。
問題５. 次の問いに答えなさい。ただしarcsinx(逆正弦関数)は,-π/2以上π/2以下の値をとるものとします。
①次の不定積分を求めなさい。
∫arcsin(2x)dx
②xy平面上のグラフy=arcsin(2x) (-1/2<=x<=1/2)とx軸、および2直線x=-1/2、x=√3/4で囲まれた部分の面積を求めなさい。
問題６. 次の4次正方行列Aの固有値をすべて求めなさい。
A=[[2 -1 0 1][-1 1 1 2][0 1 0 -1][-1 2 -1 -1]]
問題７. 次の微分方程式を解きなさい。
d2y/dx2+4y=sin(2x)
＜２次試験の問題＞
問題１. 6で割ると1余る素数pに対して、t^3≡1(mod p)を満たすtは1のほかに1<t<pの範囲にさらに2個あります。これについて、次の問いに答えなさい。
（1）p=67に対して、t^3≡1(mod p)を満たす1以外のtの値m,nを求めなさい。ただし、1<m<n<pとします。
（2）任意の整数kをpで割った余りをk~(0<=k~<p)と表します。pの倍数でないkと、(1)で求めた3乗根に相当するm,nから定まるx=k~、y=(km)~、z=(kn)~を
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx
に代入した値はつねにpの倍数ですが(このことは証明しなくてもかまいません)、kをうまくとるとf(x,y,z)=pが成り立つようにできます。p=67の場合に、そのようなkを1<k<pの範囲で求めなさい。
問題２. 正の整数nに対して、a(n)を次のように定義します。
a(n)=Σ[k+l=n](1/{(k+1)(l+1)})
ここにk,lは和がnになるような0または正の整数の組全体にわたります。
これについて、次の問いに答えなさい。
（1）a(n)は単調減少数列であることを証明しなさい。
（2）lim a(n) [n→∞]を求めなさい。
問題３. 半径1の球があります。これに外接する直円錐(側面と底面が球に外接する直円錐)のうち体積が最小のものについて、次の問いに答えなさい。
（1）体積が最小の直円錐の底面の半径と高さを求めなさい。
（2）この直円錐を底面と平行な球の接平面で切って、円錐台に球を内接させます。この円錐台を、球の中心を通って底面に平行な平面で切ったとき、上下の円錐台からそれぞれ半球の部分を除いた部分の体積の比を求めて、できるだけ簡単な形で表しなさい。
問題４. Aさんはある歴史上の人物の知名度を調べるため、100人を無作為に選んで調査したところ、60人が「知っている」と答え、残りの40人は「知らない」と答えました。これについて、次の問いに答えなさい。ただし、解答の際には下の正規分布表の値を用いなさい。
（1）この歴史上の人物の知名度(「知っている」と答えた人の割合)pの90％の信頼区間を求めなさい。ただし、信頼限界の値は小数第3位を四捨五入して、小数第2位まで求めなさい。
（2）Aさんは、知名度をより正確なものにすべく、(1)におけるpの99％の信頼区間を求めたいと考えています。この信頼区間の幅(信頼区間が[p^-q, p^+q]のときのqの値)を0.05以内にするためには(既に調査した100人を含めて)何人以上の調査をする必要があるでしょうか。答えは一の位を切り上げて、十の位の概数で求めなさい。
正規分布表
(平均0、分散1の正規分布における上側α点の値z(α)を表します)
α z(α)
0.005 2.576
0.01 2.326
0.025 1.960
0.05 1.645
0.1 1.282
問題５. 右図のように、点A,点Bと直線lが次の条件を満たすように与えられたとします。
・線分ABが直線lと共有点を持たない。
・直線ABと直線lは平行でない。
このとき、2点A,Bを通り、直線lに接する円が2つ存在しますが、そのうちの1つをコンパスとものさしのみで作図し、その手順も簡潔に記しなさい。ただし、ものさしは直線を引くことだけに用いなさい。
・B
・A
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ l
問題６. Vを3次以下の実係数1変数多項式から成る実線形空間、Wを2次以下の実係数1変数多項式から成る実線形空間とします。VからWへの写像Fを
F(f(x))=2xf''(x)-f'(x+1)+(x^2)f(1)
によって定めます。これについて、次の問いに答えなさい。
（1）Fは線形写像であることを示しなさい。
（2）Vの基底を<1,3x-5,2x^2-3x,x^3-2x^2+4>、Wの基底を<1,x-1,(x-1)^2>とするとき、これら2つの基底に関する線形写像Fの表現行列を求めなさい。
問題７. 0＜a＜2とします。円柱面 (x-2+a)^2+y^2=a^2のうち、球面x^2+y^2+z^2=4の内部にある部分の曲面積S(a)をaの関数として表し、aを冒頭の範囲で変化させたときのS(a)の最大値を求めなさい。
問題１. (x-2-3/x)^5を展開したときの定数項を求めなさい。
問題２. 積 sin20°*sin40°*sin60°*sin80°の値を求めなさい(この値は有理数です)。
問題３. xyz空間の1次変換 f: t(x y z) → [[1 -1 2][-2 3 1][0 1 5]]t(x y z) (tは列ベクトル)
によって、直線 (4-x)/3=y-2=(z+1)/2はどのような図形に移るでしょうか。
その図形の方程式を求めなさい。
問題４. 1,2,3のカードがそれぞれ3枚,2枚,1枚あります。この6枚のカードを袋に入れ、中を見ないで2枚のカードを取り出し、その2枚のカードに書かれている数の積をXとするとき、次の問いに答えなさい。
① Xの平均E(X)を求めなさい。
② Xの分散V(X)を求めなさい。
問題５. 次の問いに答えなさい。ただしarcsinx(逆正弦関数)は,-π/2以上π/2以下の値をとるものとします。
①次の不定積分を求めなさい。
∫arcsin(2x)dx
②xy平面上のグラフy=arcsin(2x) (-1/2<=x<=1/2)とx軸、および2直線x=-1/2、x=√3/4で囲まれた部分の面積を求めなさい。
問題６. 次の4次正方行列Aの固有値をすべて求めなさい。
A=[[2 -1 0 1][-1 1 1 2][0 1 0 -1][-1 2 -1 -1]]
問題７. 次の微分方程式を解きなさい。
d2y/dx2+4y=sin(2x)
＜２次試験の問題＞
問題１. 6で割ると1余る素数pに対して、t^3≡1(mod p)を満たすtは1のほかに1<t<pの範囲にさらに2個あります。これについて、次の問いに答えなさい。
（1）p=67に対して、t^3≡1(mod p)を満たす1以外のtの値m,nを求めなさい。ただし、1<m<n<pとします。
（2）任意の整数kをpで割った余りをk~(0<=k~<p)と表します。pの倍数でないkと、(1)で求めた3乗根に相当するm,nから定まるx=k~、y=(km)~、z=(kn)~を
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx
に代入した値はつねにpの倍数ですが(このことは証明しなくてもかまいません)、kをうまくとるとf(x,y,z)=pが成り立つようにできます。p=67の場合に、そのようなkを1<k<pの範囲で求めなさい。
問題２. 正の整数nに対して、a(n)を次のように定義します。
a(n)=Σ[k+l=n](1/{(k+1)(l+1)})
ここにk,lは和がnになるような0または正の整数の組全体にわたります。
これについて、次の問いに答えなさい。
（1）a(n)は単調減少数列であることを証明しなさい。
（2）lim a(n) [n→∞]を求めなさい。
問題３. 半径1の球があります。これに外接する直円錐(側面と底面が球に外接する直円錐)のうち体積が最小のものについて、次の問いに答えなさい。
（1）体積が最小の直円錐の底面の半径と高さを求めなさい。
（2）この直円錐を底面と平行な球の接平面で切って、円錐台に球を内接させます。この円錐台を、球の中心を通って底面に平行な平面で切ったとき、上下の円錐台からそれぞれ半球の部分を除いた部分の体積の比を求めて、できるだけ簡単な形で表しなさい。
問題４. Aさんはある歴史上の人物の知名度を調べるため、100人を無作為に選んで調査したところ、60人が「知っている」と答え、残りの40人は「知らない」と答えました。これについて、次の問いに答えなさい。ただし、解答の際には下の正規分布表の値を用いなさい。
（1）この歴史上の人物の知名度(「知っている」と答えた人の割合)pの90％の信頼区間を求めなさい。ただし、信頼限界の値は小数第3位を四捨五入して、小数第2位まで求めなさい。
（2）Aさんは、知名度をより正確なものにすべく、(1)におけるpの99％の信頼区間を求めたいと考えています。この信頼区間の幅(信頼区間が[p^-q, p^+q]のときのqの値)を0.05以内にするためには(既に調査した100人を含めて)何人以上の調査をする必要があるでしょうか。答えは一の位を切り上げて、十の位の概数で求めなさい。
正規分布表
(平均0、分散1の正規分布における上側α点の値z(α)を表します)
α z(α)
0.005 2.576
0.01 2.326
0.025 1.960
0.05 1.645
0.1 1.282
問題５. 右図のように、点A,点Bと直線lが次の条件を満たすように与えられたとします。
・線分ABが直線lと共有点を持たない。
・直線ABと直線lは平行でない。
このとき、2点A,Bを通り、直線lに接する円が2つ存在しますが、そのうちの1つをコンパスとものさしのみで作図し、その手順も簡潔に記しなさい。ただし、ものさしは直線を引くことだけに用いなさい。
・B
・A
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ l
問題６. Vを3次以下の実係数1変数多項式から成る実線形空間、Wを2次以下の実係数1変数多項式から成る実線形空間とします。VからWへの写像Fを
F(f(x))=2xf''(x)-f'(x+1)+(x^2)f(1)
によって定めます。これについて、次の問いに答えなさい。
（1）Fは線形写像であることを示しなさい。
（2）Vの基底を<1,3x-5,2x^2-3x,x^3-2x^2+4>、Wの基底を<1,x-1,(x-1)^2>とするとき、これら2つの基底に関する線形写像Fの表現行列を求めなさい。
問題７. 0＜a＜2とします。円柱面 (x-2+a)^2+y^2=a^2のうち、球面x^2+y^2+z^2=4の内部にある部分の曲面積S(a)をaの関数として表し、aを冒頭の範囲で変化させたときのS(a)の最大値を求めなさい。
４月９日（日）に数検１級を受験してきました。
合格には程遠い結果だと自負しています。
問題を家でゆっくり解いて、自分なりの解答を作成しようと思います。
＜１次問題＞
１：３項、５次の展開問題
２：三角関数の和と積の問題
３：３×３の正方行列の１次変換の問題
４：期待値と分散の問題
５：三角関数の逆関数の不定積分と面積の問題
６：４×４の正方行列の固有値の問題
７：２回微分方程式の問題
＜２次問題＞
１、２、６、７を解きました。
１：整数の問題
２：数列と極限値の問題
６：線形写像の問題
７：曲面積の最大値の問題
合格には程遠い結果だと自負しています。
問題を家でゆっくり解いて、自分なりの解答を作成しようと思います。
＜１次問題＞
１：３項、５次の展開問題
２：三角関数の和と積の問題
３：３×３の正方行列の１次変換の問題
４：期待値と分散の問題
５：三角関数の逆関数の不定積分と面積の問題
６：４×４の正方行列の固有値の問題
７：２回微分方程式の問題
＜２次問題＞
１、２、６、７を解きました。
１：整数の問題
２：数列と極限値の問題
６：線形写像の問題
７：曲面積の最大値の問題
移行処置を意識してでしょうか？
早稲田大学の理工学部で、「円周角の定理の逆」が出題されました。
[５]
xy - 平面上に２点A(-1, 0), B(1, 0) をとる。π/4 ≦ ∠APB ≦ π をみたす平面
上の点Ｐの全体と点A, B からなる図形をＦとする。つぎの問に答えよ。
(1) F を図示せよ。
(2) F を x軸 のまわりに１回転して得られる立体の体積を求めよ。
[５]の(1) が「円周角の定理の逆」を使う問題です。
来年からは、中学生で「円周角の定理の逆」を学習します。
大学入試にも移行処置は影響を与えているようですね！
早稲田大学の理工学部で、「円周角の定理の逆」が出題されました。
[５]
xy - 平面上に２点A(-1, 0), B(1, 0) をとる。π/4 ≦ ∠APB ≦ π をみたす平面
上の点Ｐの全体と点A, B からなる図形をＦとする。つぎの問に答えよ。
(1) F を図示せよ。
(2) F を x軸 のまわりに１回転して得られる立体の体積を求めよ。
[５]の(1) が「円周角の定理の逆」を使う問題です。
来年からは、中学生で「円周角の定理の逆」を学習します。
大学入試にも移行処置は影響を与えているようですね！
ある方が、次の極限値（nC[n/2] / (2^n)）を求めたいようでした。
以下のように証明をしてみました。
[n] : ガウス記号
n!! : ２重階乗
===== ここから =====
nC[n/2] / (2^n) → 1 (n → ∞)
極限値は「0」ではなく、「1」になります。
＜証明＞
n を 偶数、奇数の 2m、2m-1 に場合分けをします。（ただし、m = 1, 2, 3, ...）
① n = 2m の場合
[n/2] = [2m/2] = [m] = m
nC[n/2] = (2m)Cm より
数列 S[m] を次のように置くと
S[m] = (2m)Cm / {2^(2m)}
S[1] = 2C1 / (2^2) = 2 / 4 = 1 / 2
S[m] / S[m-1]
= [(2m)Cm / {2^(2m)}]/[(2m-2)C(m-1) / {2^(2m-2)}]
= {2^(2m-2)・(2m)Cm} / {2^(2m)・(2m-2)C(m-1)}
= {2^(2m-2)/2^(2m)}・{(2m)Cm / (2m-2)C/(m-1)}
= (1/4)・([(2m)!/{(m)!(m)!}] / [(2m-2)!/{(m-1)!(m-1)!}])
= (1/4)・([{(2m)!(m-1)!(m-1)!} / {(2m-2)!(m)!(m)!}])
= (1/4)・[{(2m)・(2m-1)} / {m・m}]
= (2m-1) / (2m)
②n = 2m-1 の場合
[n/2] = [(2m-1)/2] = [m - 1/2] = [(m-1) + 1/2] = m-1
nC[n/2] = (2m-1)C(m-1) より
数列 T[m] を次のように置くと
T[m] = (2m-1)C(m-1) / {2^(2m-1)}
T[1] = 1C1 / (2^1) = 1 / 2
T[m] / T[m-1]
= [(2m-1)C(m-1) / {2^(2m-1)}]/[(2m-3)C(m-2) / {2^(2m-3)}]
= {2^(2m-3)・(2m-1)C(m-1)} / {2^(2m-1)・(2m-3)C(m-2)}
= {2^(2m-3)/2^(2m-1)}・{(2m-1)C(m-1) / (2m-3)C/(m-2)}
= (1/4)・([(2m-1)!/{(m-1)!(m)!}] / [(2m-3)!/{(m-2)!(m-1)!}])
= (1/4)・([{(2m-1)!(m-2)!(m-1)!} / {(2m-3)!(m-1)!(m)!}])
= (1/4)・[{(2m-1)・(2m-2)} / {m・(m-1)}]
= (2m-1) / (2m)
①、②より
S[m] / S[m-1] = (2m-1) / (2m) （ただし、m = 1, 2, 3, ...）
S[1] = 1/2
T[m] / T[m-1] = (2m-1) / (2m) （ただし、m = 1, 2, 3, ...）
T[1] = 1/2
よって、偶数、奇数は
X[m] / X[m-1] = (2m-1) / (2m) （ただし、m = 1, 2, 3, ...）
X[1] = 1/2
より同じ数列になることが分かる。
X[m] = {(2m-1) / (2m)}・X[m-1]
X[m] = {(2m-1) / (2m)}・{(2m-3) / (2m-2)}・X[m-2]
.....
X[m] = {(2m-1) / (2m)}・{(2m-3) / (2m-2)}・.....・{5/6}・X[2]
X[m] = {(2m-1) / (2m)}・{(2m-3) / (2m-2)}・.....・{5/6}・{3/4}・X[1]
X[m] = {(2m-1) / (2m)}・{(2m-3) / (2m-2)}・.....・{5/6}・{3/4}・{1/2}
X[m] = {(2m-1)!! / (2m)!!} → 1 (m → ∞) ・・・（２）
nC[n/2] / (2^n) = X[m] より
nC[n/2] / (2^n) → 1 (n → ∞)
Q.E.D.
===== ここまで =====
（１） 証明の不備があれば、教えてください。
（２） X[m] = {(2m-1)!! / (2m)!!} → 1 (m → ∞) は、言いきっても良いでしょうか？
どこからの本からの引用ではないので、極限値を確かめる方法がないため。
証明が合っているか、ないかを見て欲しいので、全内容を書きました。
※丸投げの意図ではなく、確認のためです。
※全内容は、自力で考えた内容です。
私の不安点は、（２）の部分です。
もし、この証明が合っていたならば、(1 + 1)^n = 2^n のとき、
(1 + 1)^n の最大値の nC[n/2] のとき、
nC[n/2] ＜ (1 + 1)^n ⇔ nC[n/2] ＜ 2^n なので、nC[n/2] / (2^n) ＜ 1
でも、極限値は nC[n/2] / (2^n) → 1 (n → ∞) となる、不思議な結果になります。
===== 2012/01/11 AM9:25 追記 =====
数学のコミュに質問をしたら、丁寧に教えて頂きました。
（２） X[m] = {(2m-1)!! / (2m)!!} → 1 (m → ∞) は、言いきっても良いでしょうか？
Wallis 積分から
(2m-1)!! / (2m)!! = (2/π) ∫_0^(π/2) (sin x)^(2m) dx → 0 (m → ∞)
X[m] → 0 (m → 0)より
nC[n/2] / (2^n) → 0 (n → ∞)
Wallis 積分は、とても勉強になりました。
以下のように証明をしてみました。
[n] : ガウス記号
n!! : ２重階乗
===== ここから =====
nC[n/2] / (2^n) → 1 (n → ∞)
極限値は「0」ではなく、「1」になります。
＜証明＞
n を 偶数、奇数の 2m、2m-1 に場合分けをします。（ただし、m = 1, 2, 3, ...）
① n = 2m の場合
[n/2] = [2m/2] = [m] = m
nC[n/2] = (2m)Cm より
数列 S[m] を次のように置くと
S[m] = (2m)Cm / {2^(2m)}
S[1] = 2C1 / (2^2) = 2 / 4 = 1 / 2
S[m] / S[m-1]
= [(2m)Cm / {2^(2m)}]/[(2m-2)C(m-1) / {2^(2m-2)}]
= {2^(2m-2)・(2m)Cm} / {2^(2m)・(2m-2)C(m-1)}
= {2^(2m-2)/2^(2m)}・{(2m)Cm / (2m-2)C/(m-1)}
= (1/4)・([(2m)!/{(m)!(m)!}] / [(2m-2)!/{(m-1)!(m-1)!}])
= (1/4)・([{(2m)!(m-1)!(m-1)!} / {(2m-2)!(m)!(m)!}])
= (1/4)・[{(2m)・(2m-1)} / {m・m}]
= (2m-1) / (2m)
②n = 2m-1 の場合
[n/2] = [(2m-1)/2] = [m - 1/2] = [(m-1) + 1/2] = m-1
nC[n/2] = (2m-1)C(m-1) より
数列 T[m] を次のように置くと
T[m] = (2m-1)C(m-1) / {2^(2m-1)}
T[1] = 1C1 / (2^1) = 1 / 2
T[m] / T[m-1]
= [(2m-1)C(m-1) / {2^(2m-1)}]/[(2m-3)C(m-2) / {2^(2m-3)}]
= {2^(2m-3)・(2m-1)C(m-1)} / {2^(2m-1)・(2m-3)C(m-2)}
= {2^(2m-3)/2^(2m-1)}・{(2m-1)C(m-1) / (2m-3)C/(m-2)}
= (1/4)・([(2m-1)!/{(m-1)!(m)!}] / [(2m-3)!/{(m-2)!(m-1)!}])
= (1/4)・([{(2m-1)!(m-2)!(m-1)!} / {(2m-3)!(m-1)!(m)!}])
= (1/4)・[{(2m-1)・(2m-2)} / {m・(m-1)}]
= (2m-1) / (2m)
①、②より
S[m] / S[m-1] = (2m-1) / (2m) （ただし、m = 1, 2, 3, ...）
S[1] = 1/2
T[m] / T[m-1] = (2m-1) / (2m) （ただし、m = 1, 2, 3, ...）
T[1] = 1/2
よって、偶数、奇数は
X[m] / X[m-1] = (2m-1) / (2m) （ただし、m = 1, 2, 3, ...）
X[1] = 1/2
より同じ数列になることが分かる。
X[m] = {(2m-1) / (2m)}・X[m-1]
X[m] = {(2m-1) / (2m)}・{(2m-3) / (2m-2)}・X[m-2]
.....
X[m] = {(2m-1) / (2m)}・{(2m-3) / (2m-2)}・.....・{5/6}・X[2]
X[m] = {(2m-1) / (2m)}・{(2m-3) / (2m-2)}・.....・{5/6}・{3/4}・X[1]
X[m] = {(2m-1) / (2m)}・{(2m-3) / (2m-2)}・.....・{5/6}・{3/4}・{1/2}
X[m] = {(2m-1)!! / (2m)!!} → 1 (m → ∞) ・・・（２）
nC[n/2] / (2^n) = X[m] より
nC[n/2] / (2^n) → 1 (n → ∞)
Q.E.D.
===== ここまで =====
（１） 証明の不備があれば、教えてください。
（２） X[m] = {(2m-1)!! / (2m)!!} → 1 (m → ∞) は、言いきっても良いでしょうか？
どこからの本からの引用ではないので、極限値を確かめる方法がないため。
証明が合っているか、ないかを見て欲しいので、全内容を書きました。
※丸投げの意図ではなく、確認のためです。
※全内容は、自力で考えた内容です。
私の不安点は、（２）の部分です。
もし、この証明が合っていたならば、(1 + 1)^n = 2^n のとき、
(1 + 1)^n の最大値の nC[n/2] のとき、
nC[n/2] ＜ (1 + 1)^n ⇔ nC[n/2] ＜ 2^n なので、nC[n/2] / (2^n) ＜ 1
でも、極限値は nC[n/2] / (2^n) → 1 (n → ∞) となる、不思議な結果になります。
===== 2012/01/11 AM9:25 追記 =====
数学のコミュに質問をしたら、丁寧に教えて頂きました。
（２） X[m] = {(2m-1)!! / (2m)!!} → 1 (m → ∞) は、言いきっても良いでしょうか？
Wallis 積分から
(2m-1)!! / (2m)!! = (2/π) ∫_0^(π/2) (sin x)^(2m) dx → 0 (m → ∞)
X[m] → 0 (m → 0)より
nC[n/2] / (2^n) → 0 (n → ∞)
Wallis 積分は、とても勉強になりました。
ある読売新聞のトピックにあった内容です。
本題ですが、先月末にテストがあって、その結果を見て驚きました。
九九の計算はほぼ完璧に出来ているものの、文章題が半分以上間違っていたのです。
何が違っているのかと思って見てみたら、答えは合っているのに、式が違う。
【子供が5人います。お菓子を2個ずつ配ると、お菓子は全部で何個になりますか？】
という問題に対して、娘は数字の出てくる順番に、
【5×2＝10】
という計算式を書いていたのですが、学校ではどうやら、
【2×5＝10】
と、指導しているらしいのです。
みなさんは、どう思いますか？
自分の意見はありますが、他の方々の意見を聞きたいと思いました。
＜補足（2012/01/06 PM11:55頃 追記）＞
「かけ算の順序」の検索から訪問している方へ。
「順序」という算数・数学用語はありません。
「式の区別」を「する」、「しない」の場合がある。
どうも、最近はネットで「順序」という勝手な造語をつくって、「数学科の方」や「小学生の教師」などに迷惑をかけているようです。
本題ですが、先月末にテストがあって、その結果を見て驚きました。
九九の計算はほぼ完璧に出来ているものの、文章題が半分以上間違っていたのです。
何が違っているのかと思って見てみたら、答えは合っているのに、式が違う。
【子供が5人います。お菓子を2個ずつ配ると、お菓子は全部で何個になりますか？】
という問題に対して、娘は数字の出てくる順番に、
【5×2＝10】
という計算式を書いていたのですが、学校ではどうやら、
【2×5＝10】
と、指導しているらしいのです。
みなさんは、どう思いますか？
自分の意見はありますが、他の方々の意見を聞きたいと思いました。
＜補足（2012/01/06 PM11:55頃 追記）＞
「かけ算の順序」の検索から訪問している方へ。
「順序」という算数・数学用語はありません。
「式の区別」を「する」、「しない」の場合がある。
どうも、最近はネットで「順序」という勝手な造語をつくって、「数学科の方」や「小学生の教師」などに迷惑をかけているようです。
アルバイトで指導していて思うことは、恒等式の考え方が中学生に伝わっていないこと。
＜前提＞
A, B 数または式がある。
C の数がある。
A = B のときを考える。
① A + C = B + C
② A - C = B - C
③ A × C = B × C
④ A / C = B / C （ただし C ≠ 0）
この①、②、③、④が基本の考え方。
A = B の式のことを恒等式と言います。
次のような１次方程式があります。
＜問題１＞
＜省略の計算＞
x - 2 = 3
⇔ x = 3 + 2
⇔ x = 5
＜丁寧な計算＞
x - 2 = 3
⇔ x - 2 + 2 = 3 + 2
⇔ x = 3 + 2
⇔ x = 5
＜問題２＞
＜省略の計算＞
2x = 6
⇔ x = 6 / 2
⇔ x = 3
＜丁寧な計算＞
2x = 6
⇔ 2x / 2 = 6 / 2
⇔ x = 6 / 2
⇔ x = 3
＜問題３＞
＜省略の計算＞
5x - 7 = -3x + 9
⇔ 5x + 3x = 7 + 9
⇔ 8x = 16
⇔ x = 2
＜丁寧な計算＞
5x - 7 = -3x + 9
⇔ 5x - 7 + 3x + 7 = -3x + 9 + 3x + 7
⇔ 5x + 3x -7 + 7 = -3x + 3x + 9 + 7
⇔ 8x = 16
⇔ 8x / 8 = 16 / 8
⇔ x = 2
授業の説明では、＜丁寧な計算＞で説明をします。
テストの問題では、＜省略の計算＞で書きます。
テストでは、生徒の理解を確認する意味なので、＜丁寧な計算＞と＜省略の計算＞のどちらで書いても正解です。
①、②、③、④を理解しているかが、重要な内容です。
理解できれば、後はどんどん計算して、１次方程式を解いて行きましょう。
＜前提＞
A, B 数または式がある。
C の数がある。
A = B のときを考える。
① A + C = B + C
② A - C = B - C
③ A × C = B × C
④ A / C = B / C （ただし C ≠ 0）
この①、②、③、④が基本の考え方。
A = B の式のことを恒等式と言います。
次のような１次方程式があります。
＜問題１＞
＜省略の計算＞
x - 2 = 3
⇔ x = 3 + 2
⇔ x = 5
＜丁寧な計算＞
x - 2 = 3
⇔ x - 2 + 2 = 3 + 2
⇔ x = 3 + 2
⇔ x = 5
＜問題２＞
＜省略の計算＞
2x = 6
⇔ x = 6 / 2
⇔ x = 3
＜丁寧な計算＞
2x = 6
⇔ 2x / 2 = 6 / 2
⇔ x = 6 / 2
⇔ x = 3
＜問題３＞
＜省略の計算＞
5x - 7 = -3x + 9
⇔ 5x + 3x = 7 + 9
⇔ 8x = 16
⇔ x = 2
＜丁寧な計算＞
5x - 7 = -3x + 9
⇔ 5x - 7 + 3x + 7 = -3x + 9 + 3x + 7
⇔ 5x + 3x -7 + 7 = -3x + 3x + 9 + 7
⇔ 8x = 16
⇔ 8x / 8 = 16 / 8
⇔ x = 2
授業の説明では、＜丁寧な計算＞で説明をします。
テストの問題では、＜省略の計算＞で書きます。
テストでは、生徒の理解を確認する意味なので、＜丁寧な計算＞と＜省略の計算＞のどちらで書いても正解です。
①、②、③、④を理解しているかが、重要な内容です。
理解できれば、後はどんどん計算して、１次方程式を解いて行きましょう。
平成２３年５月２３日に「かけ算には順序があるか」が発売がされました。
私は、特に専門の数学の分野はありません。
しかし、純粋数学を大学の数学科で学んだ者としては、「純粋数学の常識」と「一般の方の数学の常識」の違いに違和感を持ちました。
数学科は、数学を厳密に扱う分野ですけど、数学科以外の理工系（物理学、化学、生物学、工学など）だと、数学を道具として使う点は、数学科とは異なる印象を持っています。
＜＜著者の考え＞＞
著者は、かけ算の交換法則が常識であり、順序があるとは考えたことがなかった。
どうも、本の内容を読むと、数学の歴史、小・中・高の常識までの理解の範囲での記事の内容であった。
＜＜一般的な数学として＞＞
純粋数学では、解析学、代数学、幾何学を大きく分けると３つに分けることが出来ます。
ただし、最先端の純粋数学の研究では、明確には３つの分野は分かれていません。
＜＜代数学の群論より＞＞
代数学では、演算の公理を抽象的に定義して、さまざまな定理があります。
その代数学の中には、群論があります。
『群の公理』とは
群論とは、集合 G があります。
要素 x、y、z ∈ G があります。
① x × y ∈ G
② x × (y × z) = (x × y) × z （結合法則）
③ ∃e s.t. x × e ＝ e × x ＝ x for ∀x ∈ G （単位元の存在）
④ ∃a^(-1) s.t. a × a^(-1) = a^(-1) × a = e for ∀x ∈ G （逆元の存在）
この①、②、③、④を『群の公理』といいます。
※④を除くときの①、②、③をモノイド群（半群）と言います。
一般的に『群の公理』の演算子は「＊」と表示します。
群論とは、集合 G があります。
要素 x、y、z ∈ G があります。
① x ＊ y ∈ G
② x ＊ (y ＊ z) = (x ＊ y) ＊ z （結合法則）
③ ∃e s.t. x ＊ e ＝ e ＊ x ＝ x for ∀x ∈ G （単位元の存在）
④ ∃a^(-1) s.t. a ＊ a^(-1) = a^(-1) ＊ a = e for ∀x ∈ G （逆元の存在）
この①、②、③、④を『群の公理』といいます。
＜注意＞
「＊」を「×」、「＋」と入れかえてもよいです。
「×」のときを乗法群、「＋」のときを加法群と区別をします。
『群の公理』の中では、x ＊ y ＝ y ＊ x の交換法則はありません。
実は、次の(A)、(B)と区別します。
(A) x ＊ y ≠ y ＊ x （非可換群）
(B) x ＊ y ＝ y ＊ x （可換群またはアーベル群）
代数学では、
(A) の非可換群は、一般的に純粋数学として考える事象です。
(B) の可換群（アーベル群）は、特別な事象として考えます。
小・中・高（数学Ⅱ・B）までは、(B) の可換群（アーベル群）について学んでいました。
一般的な非可換群で考えると、順序を区別します。
＜＜集合を考える＞＞
もう一度、『群の公理』を見て下さい。
集合 G とあります。
この集合 G とは、何を意味しているのでしょうか？
「かけ算には順序があるか」の集合 G は「自然数」を意味しているようです。
「自然数」は可換群（アーベル群）になります。
純粋数学では、集合 G は「実数」、「複素数」、「行列」、「四元数」などを意味しています。
「実数」、「複素数」は、可換群（アーベル群）になります。
「行列」、「四元数」は、非可換群になります。
＜＜数学者の考え（正確には代数学の考え）＞＞
「かけ算には順序があるか」の本の中には、数学者である、遠山教授や矢野教授の名前を出しています。
遠山教授の専門は、整数論、代数関数論です。
矢野教授の専門は、微分幾何学です。
遠山教授や矢野教授が、代数学として考えるとき、非可換群で考えることが一般的であることは知っています。
代数学より考えれば、非可環群なので順序を区別することは分かっていました。
しかし、厄介なことは、集合 G が、自然数や実数などのため、可換群になることです。
可換群なので、順序を必ず区別する必要はなかったのです。
集合 G が、可換群の自然数や実数などのため、「どちらでもいい」という、あいまいな表現となりました。
====「かけ算には順序があるか」の本(p14)より =====
数学教育協議会を率いて、日本の算数・数学教育に絶大な影響力を与えいた遠山啓の意見は、6×4 でも 4×6 でもどちらでもいい、というものです。
=========================================
それはなぜかというと、非可換群の身近な事柄がないため、一般の方に説明が出来なかったのです。
実際には、小・中・高（数学Ⅱ・B）までは、すべて可換群（アーベル群）についての計算を学ぶ内容になっています。
初めて、高校の「数学C」 の中で非可換群の行列を学ぶことになるのです。
＜＜まとめと結論＞＞
小学生には、１度は非可換群として「6×4」と「4×6」は順序を区別することを教えます。
それから、可換群（アベール群）なので、「6×4」と「4×6」の計算の結果の値は等しいので交換法則を教える。
という手順で教えることが算数・数学教育だと思います。
代数学では、非可換群が一般的であることを、前提に数学の議論をします。
その中で、可換群になる対象を研究します。
そういう意味では、可換群は特別な事象なのです。
大事なことは、非可換群を前提に意味を考えることが大事です。
「かけ算」、「たし算」の順序を区別する意味も含むことは分かると思います。
私は、特に専門の数学の分野はありません。
しかし、純粋数学を大学の数学科で学んだ者としては、「純粋数学の常識」と「一般の方の数学の常識」の違いに違和感を持ちました。
数学科は、数学を厳密に扱う分野ですけど、数学科以外の理工系（物理学、化学、生物学、工学など）だと、数学を道具として使う点は、数学科とは異なる印象を持っています。
＜＜著者の考え＞＞
著者は、かけ算の交換法則が常識であり、順序があるとは考えたことがなかった。
どうも、本の内容を読むと、数学の歴史、小・中・高の常識までの理解の範囲での記事の内容であった。
＜＜一般的な数学として＞＞
純粋数学では、解析学、代数学、幾何学を大きく分けると３つに分けることが出来ます。
ただし、最先端の純粋数学の研究では、明確には３つの分野は分かれていません。
＜＜代数学の群論より＞＞
代数学では、演算の公理を抽象的に定義して、さまざまな定理があります。
その代数学の中には、群論があります。
『群の公理』とは
群論とは、集合 G があります。
要素 x、y、z ∈ G があります。
① x × y ∈ G
② x × (y × z) = (x × y) × z （結合法則）
③ ∃e s.t. x × e ＝ e × x ＝ x for ∀x ∈ G （単位元の存在）
④ ∃a^(-1) s.t. a × a^(-1) = a^(-1) × a = e for ∀x ∈ G （逆元の存在）
この①、②、③、④を『群の公理』といいます。
※④を除くときの①、②、③をモノイド群（半群）と言います。
一般的に『群の公理』の演算子は「＊」と表示します。
群論とは、集合 G があります。
要素 x、y、z ∈ G があります。
① x ＊ y ∈ G
② x ＊ (y ＊ z) = (x ＊ y) ＊ z （結合法則）
③ ∃e s.t. x ＊ e ＝ e ＊ x ＝ x for ∀x ∈ G （単位元の存在）
④ ∃a^(-1) s.t. a ＊ a^(-1) = a^(-1) ＊ a = e for ∀x ∈ G （逆元の存在）
この①、②、③、④を『群の公理』といいます。
＜注意＞
「＊」を「×」、「＋」と入れかえてもよいです。
「×」のときを乗法群、「＋」のときを加法群と区別をします。
『群の公理』の中では、x ＊ y ＝ y ＊ x の交換法則はありません。
実は、次の(A)、(B)と区別します。
(A) x ＊ y ≠ y ＊ x （非可換群）
(B) x ＊ y ＝ y ＊ x （可換群またはアーベル群）
代数学では、
(A) の非可換群は、一般的に純粋数学として考える事象です。
(B) の可換群（アーベル群）は、特別な事象として考えます。
小・中・高（数学Ⅱ・B）までは、(B) の可換群（アーベル群）について学んでいました。
一般的な非可換群で考えると、順序を区別します。
＜＜集合を考える＞＞
もう一度、『群の公理』を見て下さい。
集合 G とあります。
この集合 G とは、何を意味しているのでしょうか？
「かけ算には順序があるか」の集合 G は「自然数」を意味しているようです。
「自然数」は可換群（アーベル群）になります。
純粋数学では、集合 G は「実数」、「複素数」、「行列」、「四元数」などを意味しています。
「実数」、「複素数」は、可換群（アーベル群）になります。
「行列」、「四元数」は、非可換群になります。
＜＜数学者の考え（正確には代数学の考え）＞＞
「かけ算には順序があるか」の本の中には、数学者である、遠山教授や矢野教授の名前を出しています。
遠山教授の専門は、整数論、代数関数論です。
矢野教授の専門は、微分幾何学です。
遠山教授や矢野教授が、代数学として考えるとき、非可換群で考えることが一般的であることは知っています。
代数学より考えれば、非可環群なので順序を区別することは分かっていました。
しかし、厄介なことは、集合 G が、自然数や実数などのため、可換群になることです。
可換群なので、順序を必ず区別する必要はなかったのです。
集合 G が、可換群の自然数や実数などのため、「どちらでもいい」という、あいまいな表現となりました。
====「かけ算には順序があるか」の本(p14)より =====
数学教育協議会を率いて、日本の算数・数学教育に絶大な影響力を与えいた遠山啓の意見は、6×4 でも 4×6 でもどちらでもいい、というものです。
=========================================
それはなぜかというと、非可換群の身近な事柄がないため、一般の方に説明が出来なかったのです。
実際には、小・中・高（数学Ⅱ・B）までは、すべて可換群（アーベル群）についての計算を学ぶ内容になっています。
初めて、高校の「数学C」 の中で非可換群の行列を学ぶことになるのです。
＜＜まとめと結論＞＞
小学生には、１度は非可換群として「6×4」と「4×6」は順序を区別することを教えます。
それから、可換群（アベール群）なので、「6×4」と「4×6」の計算の結果の値は等しいので交換法則を教える。
という手順で教えることが算数・数学教育だと思います。
代数学では、非可換群が一般的であることを、前提に数学の議論をします。
その中で、可換群になる対象を研究します。
そういう意味では、可換群は特別な事象なのです。
大事なことは、非可換群を前提に意味を考えることが大事です。
「かけ算」、「たし算」の順序を区別する意味も含むことは分かると思います。
テンプレートのデザインを変えてみました^^
背景は、「白」と「緑」で見やすい感じ、「かわいいウサギ」と「三つ葉のクロバー」もあって、和やかな雰囲気があって気にいっています。
Twitterのデザインも、ブログのデザインに合わせて、「白」にしてみました。
ブログのデザインに合っていると感じています。
以外と管理者は、テンプレートのデザインとか気にしているものですよね。
自分に合ったテンプレートのデザインだと、ずっと変えない方もいますね。
私の場合は、「goo」のテンプレートのデザインが、ときどき新しいデザインを出しているので、数か月に１回ぐらいで季節に合わせて変えています。
背景は、「白」と「緑」で見やすい感じ、「かわいいウサギ」と「三つ葉のクロバー」もあって、和やかな雰囲気があって気にいっています。
Twitterのデザインも、ブログのデザインに合わせて、「白」にしてみました。
ブログのデザインに合っていると感じています。
以外と管理者は、テンプレートのデザインとか気にしているものですよね。
自分に合ったテンプレートのデザインだと、ずっと変えない方もいますね。
私の場合は、「goo」のテンプレートのデザインが、ときどき新しいデザインを出しているので、数か月に１回ぐらいで季節に合わせて変えています。