x,yの多項式 f(x,y)が f(x,y)=f(y,x) を満たすときの形式

命題

　x,y の多項式 f(x,y)が f(x,y)=f(y,x) を満たし、
　　　s=x+y , t=xy , u=x-y , v=x²
　としたとき、fは s, tの関数として表される。

証明

　下記は簡単に計算される。
　　　x=(s+u)/2 , y=(s-u)/2 , s²-u²=4xy=4t　・・・・・・・①

　条件から
　　　f(x,y)=( f(x,y)+f(y,x) )/2
　である。また、x,yの多項式は一般に f=Σ A_mn x^m yⁿ と表されるから
　　　f(x,y)=Σ (A_mn /2)(x^m yⁿ +y^m xⁿ )　・・・・②
　となる。ここで、対称なので m≧n としても一般性は失わない。
　　　x^m yⁿ +y^m xⁿ =(xy)ⁿ (x^m-n +y^m-n )=(tⁿ/2^m-n) { (s+u)^m-n +(s-u)^m-n }
　となる。これは s,u の多項式であるが、この値は u → ±uとしても変わらないから
　　　(s+u)^m-n +(s-u)^m-n =Σ B_pq s^pu^2q =Σ B_pq s^p (s²-4t)^q  
　と表される。ここで、①を使った。

　②に戻すと、fは s,t の関数とわかる。

以上