級数Σ (log(n))³/n^a (a>0) の収束判定

級数　Σ(log(n))³/n^a (a＞1) の収束の判定方法

1.
　　　f(x)=(log(x))³/x^a (a>1)
　とする。
　　　f'(x)=3(log x)²(1/x)/x^a+(log x)³(-ax^(-a-1))
　　　　　　={(log x)²/x^(-a-1)}(3-alog x)

　したがって、x＞exp(3/a) ならば、f'(x)＜0 となって、f(x)は単調減少とわかる。すると、
　f(x)が単調減少の時、よく知られているように
　　　Σ[n=k,∞] f(n)<∫[k-1,∞]f(x)dx

　なお、級数の収束性は始めの有限個数を取り除いても変わらない。

2.
　以上のことから、k=[exp(3/a)]+1 とすると

　　　Σ[n=k+1,∞](log(n))³/n^a＜∫[k,∞]{(log(x))³/x^a}dx
　となり、右辺が有限であれば級数は収束する。

　y=log x と変数変換して、dy=dx/x, x^a=e^(ay) だから
　　　A=∫[k,∞]{(log(x))³/x^a}dx=∫[log k,∞]{y³x^(-a+1)}dy
　　　　=∫[log k,∞]{y³e^((-a+1)y)}dy
　z=(a-1)y と変換して
　　　A=(a-1)⁻⁴∫[(log k)/(a-1),∞]{z³e^(-z)}dz

　最後の積分は部分積分してz³の次数を下げれば、有限となることはすぐわかる。ゆえに、
　求める級数は収束する。

3.
　なお、(log(n))^m (m≧0) のときも、同じ論理で、級数
　Σ {(log(n))^m}/n^a (a＞1) は収束する。

以上