定速度 V で原点から y軸上を直線運動をする人に向かって，x軸上から定速度 U で、人を追いかける犬

1.　まえがき

　以下のような人を追いかける犬の問題があった。以前のMSの入社試験に似ている。

2.　問題

　定速度 V で原点から y軸上を直線運動をする人に向かって，定速度 U で、人を追いか
　ける犬がいる。図のように、犬の初めの位置は x 軸上の座標 a の位置にあったとする。
　以下の問いに答えよ。

　(1) t 秒後の 犬の位置を (x, y) とすると、犬の速度 (v_x, v_y) の成分の比 v_y/v_x を求めよ。
　(2) dy/dx および d²y/dx² を x, y, t, V を用いて表わせ。
　(3) Uを dx/dt, dy/dx を用いて表わせ。
　(4) (2)、(3) より犬の進路曲線の微分方程式(t を含まない微分方程式)を導け。
　(5) U=V の場合、犬の進路曲線の微分方程式を解け。
　(6) U=V の場合、犬が人に近づきうる最終距離を求めよ。



3.　計算

　時間微分を「'」であらわす。

　(1)
　　　　v_y/v_x=y'/x'=(dy/dt)/(dx/dt)=dy/dx=(Vt-y)/(-x)=(-Vt+y)/x・・・・①
　(2)
　　①から
　　　　dy/dx=(-Vt+y)/x・・・・②
　　y(x) のグラフを求めるには、②から tを消さねばならない。そこで②を変形した
　　x(dy/dx)=-Vt+y を tで微分して（d(dy/dx)/dt=(d²y/dx²)(dx/dt)=(d²y/dx²)x' より）
　　　　y'+x(d²y/dx²)x'=-V+y' → d²y/dx²=-V/(xx')・・・・③
　　となる。

　(3)
　　dy/dx=y'/x' だから
　　　　U²=x'²+y'²=x'²{1+(y'/x')²}=x'²{1+(dy/dx)²}
　　x'≦0 だから、U≧0 にとれば
　　　　U=-x'√{1+(dy/dx)²}・・・・④
　　となる。

　(4)
　　➂④から
　　　　d²y/dx²={V/(Ux)}√{1+(dy/dx)²}

　(5)
　　U=V だから
　　　　d²y/dx²=(1/x)√{1+(dy/dx)²}
　　p=dy/dx とおくと
　　　　dp/√(1+p²)=dx/x → log|p+√(1+p²)|=log|x|+A → {p+√(1+p²)}/x=±e^A
　　ここで改めて　±e^A ⇒ A(≠0) とおくと
　　　　p+√(1+p²)=Ax
　　となる。
　　x=aのとき、p=dy/dx=0 だから、A=1/a
　　　　√(1+p²)=(x/a)-p → (1+p²)=(x/a)²-2(x/a)p+p² → p=x/(2a)-a/(2x)
　　積分して
　　　　y=x²/(4a)-(a/2)logx+B
　　　　y(x=a)=0 だから、B=(a/2)loga-a/4
　　ゆえに
　　　　y=x²/(4a)-(a/2)logx+(a/2)loga-a/4

　(6)
　　　　y'=dy/dx=x/(2a)-a/(2x)だから
　　　　(xy')²={x²/(2a)-a/2}²

　　ABの距離Dは
　　　　D=√{(Vt-y)²+x²}・・・・②を入れて
　　　　　=√{(xy')²+x²}=√[{x²/(2a)-a/2}²+x²] → a/2 (BがAに近づくのだから、x → 0)



以上

[2020/6/2] 微分方程式から変数 tを削除する方法（d²y/dx²の導出）を分かり安くした。