1. まえがき
以下のような人を追いかける犬の問題があった。以前のMSの入社試験に似ている。
2. 問題
定速度 V で原点から y軸上を直線運動をする人に向かって,定速度 U で、人を追いか
ける犬がいる。図のように、犬の初めの位置は x 軸上の座標 a の位置にあったとする。
以下の問いに答えよ。
(1) t 秒後の 犬の位置を (x, y) とすると、犬の速度 (vx, vy) の成分の比 vy/vx を求めよ。
(2) dy/dx および d²y/dx² を x, y, t, V を用いて表わせ。
(3) Uを dx/dt, dy/dx を用いて表わせ。
(4) (2)、(3) より犬の進路曲線の微分方程式(t を含まない微分方程式)を導け。
(5) U=V の場合、犬の進路曲線の微分方程式を解け。
(6) U=V の場合、犬が人に近づきうる最終距離を求めよ。
3. 計算
時間微分を「'」であらわす。
(1)
vy/vx=y'/x'=(dy/dt)/(dx/dt)=dy/dx=(Vt-y)/(-x)=(-Vt+y)/x・・・・①
(2)
①から
dy/dx=(-Vt+y)/x・・・・②
y(x) のグラフを求めるには、②から tを消さねばならない。そこで②を変形した
x(dy/dx)=-Vt+y を tで微分して(d(dy/dx)/dt=(d²y/dx²)(dx/dt)=(d²y/dx²)x' より)
y'+x(d²y/dx²)x'=-V+y' → d²y/dx²=-V/(xx')・・・・③
となる。
(3)
dy/dx=y'/x' だから
U²=x'²+y'²=x'²{1+(y'/x')²}=x'²{1+(dy/dx)²}
x'≦0 だから、U≧0 にとれば
U=-x'√{1+(dy/dx)²}・・・・④
となる。
(4)
➂④から
d²y/dx²={V/(Ux)}√{1+(dy/dx)²}
(5)
U=V だから
d²y/dx²=(1/x)√{1+(dy/dx)²}
p=dy/dx とおくと
dp/√(1+p²)=dx/x → log|p+√(1+p²)|=log|x|+A → {p+√(1+p²)}/x=±eA
ここで改めて ±eA ⇒ A(≠0) とおくと
p+√(1+p²)=Ax
となる。
x=aのとき、p=dy/dx=0 だから、A=1/a
√(1+p²)=(x/a)-p → (1+p²)=(x/a)²-2(x/a)p+p² → p=x/(2a)-a/(2x)
積分して
y=x²/(4a)-(a/2)logx+B
y(x=a)=0 だから、B=(a/2)loga-a/4
ゆえに
y=x²/(4a)-(a/2)logx+(a/2)loga-a/4
(6)
y'=dy/dx=x/(2a)-a/(2x)だから
(xy')²={x²/(2a)-a/2}²
ABの距離Dは
D=√{(Vt-y)²+x²}・・・・②を入れて
=√{(xy')²+x²}=√[{x²/(2a)-a/2}²+x²] → a/2 (BがAに近づくのだから、x → 0)
以上
[2020/6/2] 微分方程式から変数 tを削除する方法(d²y/dx²の導出)を分かり安くした。