1. まえがき
G(x,y)=x²+y²-12≦0 のもとで、F(x,y)=x³-y³+3(x-y)² の最大最小を求む、という問題があっ
た。計算がとても面倒だった。
2. 計算
極値の判定は面倒なので、有界閉領域には必ず最大・最小が存在し、微分可能な関数では、最大・
最小は極値にもなるから、求めた停留点の候補から、F(x,y)の最大・最小を選べばよい。
まず、G(x,y)=x²+y²≦12 の内部と境界で別々に検討する。
2.1 内部、G(x,y)<0
内部の停留点はF(x,y)を微分して
Fx=3x²+6(x-y)=0, Fy=-3y²-6(x-y)=0 から 6(x-y) を消して、x²=y² → y=±x をえる。
これを再度 Fx=0 に入れると、x=0 or x(x+4)=0 → x=0 or x=-4 をえる。さらに、Fx=0
にいれると、x=y=0 or x=-4, y=4 を得る。
後者の候補は、G(x,y)<0 を満たさず、領域外なので、内部の候補は
F(0,0)=0・・・・・・・・①
のみとなる。
2.2 境界、G(x,y)=0
境界の停留点はラグランジュの乗数法を使う。
Fx-λGx=3x²+6(x-y)-λ2x=0, Fy-λGy=-3y²-6λ(x-y)-λ2y=0・・・・・②
2つの式を加えて 6λ(x-y) を消すと 3x²-3y²-2λ(x+y)=0 → (x+y)(3(x-y)-2λ)=0 →
y=-x or 2λ=3(x-y)・・・・・・・③
を得る。前者は G(x,y)=0 に入れて
x=±√6 , y=∓√6 (複合同順）
を得る。このとき、
F(±√6,∓√6)=±6³/²-(∓6³/²)+3(±√6-(∓√6))²=±2・6³/²+12・6
=±12√6+72・・・・・・④
③の後者は➁の前者に入れてλを消すと
2(x-y)+xy=0 → x=2y/(y+2)
となる。これを G(x,y)=0 に入れて、xを消すと
y⁴+4y³-4y²-48y-48=0 → (y²-2y-4)(y²+6y+12)=0
となるが、y²+6y+12=(y+3)²+3>0 なので、解は y²-2y-4=0 となる。これは
y=1±√(1+4)=1±√5
をえる。G(x,y)=0 に入れると
x²=6∓2√5=1∓2√5+5=(1∓√5)² → x=±(1∓√5)
をえる。まとめると
x=±(1∓√5) , y=1±√(1+4)=1±√5 (複合同順）
である。このとき、
(1±√5)³=1+3(±√5)²+3(±√5)+(±√5)³=1+15±3√5±5√5=16±8√5
なので、
F((1∓√5),1±√5)=60∓16√5・・・・・・⑤
F(-(1∓√5),1±√5)=F(-1±√5,1±√5)=-20・・・・⑥
となる。
以上の、①➃⑤⑥の中から最大・最小を選ぶと
最大・・・・F(√6,-√6)=12√6+72 (>60+16√5)
最小・・・・F(-1±√5,1±√5)=-20 (複合同順）
となる。
以上