今読み始めている線形代数の本は初版が1958年のものです。時代のためか、徹底した公理主義にはなっておらず、いわゆる直観と類推から開始して、いるのは良いのですが解説が何となく近代的というか合理主義というか、複素数の導入とか連続性の考慮とか、今から見るとなかなか興味深い導入と思います。まだテンソル解析まで行っていません、途中の感想です。
線形代数というくくりは我が国ではこの頃に導入されたようで、代数学と幾何学から線形要素の部分、つまり加算とスカラ倍の範囲、比例とか比率の延長になる部分の抜き出しです。これで近代産業の要請にほとんど応えることが出来て、特殊相対性理論まで範囲に入ってしまいます。
現代数学からすると体上の加群、と言えるのでしょうか。普通はユークリッド距離を導入するので、n次元の実数のユークリッド空間が対象となり、複素数などを加えても、数学的には同相になってしまうそうです。
そう、今はどうか知りませんが、私が受けた小学校から大学教養時代までの数学は(微積分を除いて)この方針で組み立てられていました。何となく何か足りない感じがする原因がようやく今になって分かりつつあるような気がします。
つまり、余計な知識(?)を取り除いて、多少の意欲があれば一定の水準に達するまでの、実際に必要な計算の裏付けとなる数学知識が容易に得られる設計となっています。
私が「数学」なるものに最初に触れたのは、矢野健太郎氏が監修の数学の歴史の図鑑でした。ですから、おそらく組織的な農業と共に発生した自然数の記述と計算から始まり、治水との関係で測量から生まれた幾何学との2本柱で開始し、人類の歴史上(文字による記録がなされて以降)はしばらくはそれでOKでした。追加された微積分は機械工業の発達と関連していると思います。
その図鑑では、数を数える必要が出たのは、有史以前からの人類の特徴の一つである、交易のためだ、とされていますが、多分、歴史家の想像だと思います。
線形代数の解説のやり方は、そのような数学の歴史的経緯を完全に無視していると言ってよいと思います。だからなぜそのような概念が必要とされるに至ったのかがすっ飛んでしまいます。
それが知りたいのなら、数学史の本を読んでくれ、と言うことなのでしょう。
