私のゼータ関数の研究

リーマン・ゼータ関数を研究をしました。
あまり、いい成果は出なかったですが、書いて残しておこうと思いました。

＜複素数＞
z = x + iy = r(cosθ + i・sinθ)

＜指数関数＞
w = e^{x + iy} = e^x・e^iy = e^x・{cos(y) + i・sin(y)}
※オイラーの公式より

＜一般の指数関数＞
a^{x +iy} = a^x・(e^log(a))^iy = a^x・e^iy・log(a)= a^x・{cos(ylog(a)) + i・sin(ylog(a))}
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＜関係式＞
z = a^{x +iy} = a^x・{cos(ylog(a)) + i・sin(ylog(a))} = U +iV
とおくと、次の２つの関係式が成り立つ

U² + V² = a^2x　・・・①
U・sin(ylog(a)) = V・cos(ylog(a))　・・・②

（証明）
U = a^x・cos(ylog(a)),　V = a^x・sin(ylog(a))

U² + V² = a^2x・cos²(ylog(a)) + a^2x・sin²(ylog(a)) = a^2x　よって、①が成り立つ
a^x・sin(ylog(a))・cos(ylog(a)) = U・sin(ylog(a)) = V・cos(ylog(a))　よって、②が成り立つ
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＜複素数列＞
数列 {a_n} を考える
一般項 a_n = (1/n)^{x + iy} = n^{-x - iy}　とおくと
また、a_n = n^{-x - iy} = U_n + iV_n　とおくと

関係式①、②より③、④が成り立つ
sin(-θ) = -sin(θ),　cos(-θ) = cos(θ) より
U_n² + V_n² = n^-2x　・・・③
U_n・sin(ylog(n)) + V_n・cos(ylog(n)) = 0　・・・④

③、④より次の関係式が成り立つ
U_n² = n^-2x・cos²(ylog(n))　・・・⑤
V_n² = n^-2x・sin²(ylog(n))　・・・⑥

（証明）
④より U_n・sin(ylog(n)) = -V_n・cos(ylog(n)) ⇔ U_n²・sin²(ylog(n)) = V_n²・cos²(ylog(n))

③よりU_n² = n^-2x - V_n²
よって、(n^-2x - V_n²)・sin²(ylog(n)) = V_n²・cos²(ylog(n)) ⇔ V_n² = n^-2x・sin²(ylog(n))

同様に、V_n² = n^-2x - U_n²
U_n²・sin²(ylog(n)) = (n^-2x - U_n²)・cos²(ylog(n)) ⇔ U_n² = n^-2x・cos²(ylog(n))
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＜リーマン・ゼータ関数＞
Σ = Σ (n = 1 → ∞)　の略を意味する

ζ(s) = Σ n^-s = 1 + 2^-s + 3^-s + 4^-s + .....

上記の数列 {a_n} を用いれば、
ζ(s) = Σ a_n = Σ (U_n + iV_n) = Σ U_n + i・Σ V_n　・・・⑦

よって、③、④、⑤、⑥、⑦が成り立つことが分かります。
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＜リーマン予想＞
ζ(s) = Σ n^-s = 1 + 2^-s + 3^-s + 4^-s + .....
の時、Re(s) = 2^-1 より x = 2^-1 なので

③、④、⑤、⑥は次のように、⑧、⑨、⑩、⑪と書きなおせる
U_n² + V_n² = n^-1　・・・⑧
U_n・sin(ylog(n)) + V_n・cos(ylog(n)) = 0　・・・⑨

U_n² = n^-1・cos²(ylog(n))　・・・⑩
V_n² = n^-1・sin²(ylog(n))　・・・⑪
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＜研究のまとめ＞
私の研究では、③、④、⑤、⑥、⑦になることが分かったまでです。

ζ(s) = 0 が零点なので、⑦の関係式より
ζ(s) = Σ U_n + i・Σ V_n = 0 より
Σ U_n = Σ V_n = 0　とだと分かります。