漸化式、
a₁=2 , a[n+1]=2a[n]+2n²
の解を求めよ。
a[n]=2ⁿb[n]
とおくと与式は
b[n+1]=b[n]+n²2⁻ⁿ
すると
b[n]-b[n-1]=(n-1)²2⁻⁽ⁿ⁻¹⁾
・・・・
b[3]-b[2]=2²2⁻²
b[2]-b[1]=1²2⁻¹
辺々を加えて
b[n]-b[1]=(n-1)²2⁻⁽ⁿ⁻¹⁾+(n-2)²2⁻⁽ⁿ⁻²⁾+…+2²2⁻²+1²2⁻¹
b[1]=1 だから元に戻して
a[n]=(n-1)²2+(n-2)²2²+…+2²2⁽ⁿ⁻²⁾+2⁽ⁿ⁻¹⁾+2ⁿ
=Σ[k=1,n-1] (n-k)²2^k + 2ⁿ
=6(2ⁿ-1)-2n(n+2) + 2ⁿ
=7・2ⁿ-6-2n(n+2)
展開して、各級数
Σ[k=1,n-1] 2^k , Σ[k=1,n-1] k 2^k , Σ[k=1,n-1] k² 2^k
の和を取ればよいが、面倒すぎるので、Wolframより
Σ[k=1,n-1] (n-k)² 2^k=6(2ⁿ-1)-2n(n+2)
を使った。
検算
n 漸化式 7・2ⁿ-6-2n(n+2)
1 2 2
2 6 6
3 20 20
4 58 58
5 148 148
以上