1. まえがき
惑星運動が円錐曲線（角運動量 L≠0）のとき、直交座標系における惑星の速度 Vx, Vy に
はつぎの関係があることを示す問題があった。
Vx²+(Vy-eh/ℓ)²=(h/ℓ)²
計算はとても面倒だった。なお、記号の意味は下記の➀②のとおり。また、L≠0 なので、
h, ℓ≠0 である。
2. 計算
d/dtを「'」で書くと惑星運動は極座標系で
r=ℓ/(1+ecosθ) ・・・・・①
θ'=h/r² ・・・・・・・・②
の関係がある。また
x=rcosθ, y=rsinθ ・・・・・・・・・・③
だから①の右辺の分母を左辺に移して微分すると②➂から
r'(1+ecosθ)-resinθθ'=0 → r'ℓ/r-eyh/r²=0 → r'=(eh/ℓ)y/r ・・・・④
➀の前者を微分して
Vx=r'cosθ-rsinθθ'=r'cosθ-yθ'
Vy=r'sinθ+rcosθθ'=r'sinθ+xθ'
だから
Vx²=r'²cos²θ+y²θ'²-2r'ycosθθ' ・・・・・⑤
Vy²=r'²sin²θ+x²θ'²+2r'xsinθθ' ・・・・・⑥
すると
(Vy-eh/ℓ)²=Vy²-2(eh/ℓ)Vy+(eh/ℓ)²
=r'²sin²θ+x²θ'²+2r'xsinθθ'-2(eh/ℓ)(r'sinθ+xθ')+(eh/ℓ)²
ここで、sin²θ+cos²θ=1, x²+y²=r², -ycosθ+xsinθ=0 を使うと
Vx²+{Vy-(eh/ℓ)}²
=r'²+r²θ'²-2(eh/ℓ)(r'sinθ+xθ')+(eh/ℓ)² （さらに②➃を使って）
=(eh/ℓ)²(y/r)²+r²(h/r²)²-2(eh/ℓ){ (eh/ℓ)(y/r)sinθ+xh/r² }+(eh/ℓ)²
=(eh/ℓ)²sin²θ+h²/r²-2(eh/ℓ){ (eh/ℓ)sin²θ+xh/r² }+(eh/ℓ)²
=-(eh/ℓ)²sin²θ+h²/r²-2(eh/ℓ)xh/r²+(eh/ℓ)²
=(eh/ℓ)²(1-sin²θ)+h²/r²-2(eh/ℓ)xh/r² （①から）
=(eh/ℓ)²cos²θ+h²/r²-2(eh²/ℓ)cosθ/r
=(h/ℓ)²{ e²cos²θ+ℓ²/r²-2(eℓ)cosθ/r }
=(h/ℓ)²{ ecosθ-ℓ/r }² （②から）
=(h/ℓ)²{ ecosθ-(1+ecosθ) }² = (h/ℓ)²{-1}²
=(h/ℓ)²
となる。
3. あとがき
始め①は r+ex=ℓ だから、これを微分した r'=-ex'=-eVx を⑤⑥の和に使うと
Vx²+Vy²=r'²+r²θ'² = e²Vx²+(h/r)² → (1-e²)Vx²+Vy²=(h/r)²
となり、元々、胡散臭い思い込みがあって命題は嘘だと思った。しかし、Vx=0 または
Vy=0 などの地点では成立するので、地道に計算して驚愕した。
以上