(a³+b³+c³-3abc)²≦(a²+b²+c²)³ を示す。

１．a,b,c,d が実数の時、不等式
　　　(a³+b³+c³-3abc)²≦(a²+b²+c²)³
　を示す問題があった。

　　　a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
　である。すると
　　　A=(a²+b²+c²)³-(a³+b³+c³-3abc)²
　　　　=(a²+b²+c²)³-(a+b+c)²(a²+b²+c²-ab-bc-ca)²

　このとき
　　　(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
　だから、
　　　A=(a²+b²+c²)³-{a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)}(a²+b²+c²-ab-bc-ca)²

　ここで
　　　x=ab+bc+ca , y=a²+b²+c²
　とおくと
　　　A=y³-(y+2x)(y-x)²=y³-(y+2x)(y²+x²-2xy)=y³-(y³+x²y-2xy²+2xy²+2x³-4x²y)
　　　　=-(-3x²y+2x³)=x²(3y-2x)

　ここで
　　　3y-2x=3(a²+b²+c²)-2(ab+bc+ca)
　　　　　　=(a²+b²+c²)+(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²
　だから
　　　A=(ab+bc+ca)²{(a²+b²+c²)+(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²}≧0
　となる。

　等号成立は、ab+bc+ca=0 （a=b=c=0 を含む）のとき。


２．a,b,c,d > 0 , abcd=1 のとき、不等式
　　　(a²+1)(b²+1)(c²+1)(d²+1)≧(a+b+c+d)²
　が示されていた。

　　　A=(a²+1)(b²+1)(c²+1)(d²+1)-(a+b+c+d)²
　　　　=(abcd)²+{ (abc)²+(bcd)²+(cda)²+(dab)² }
　　　　　　+{ (ab)²+(bc)²+(cd)²+(da)²+(ac)²+(ad)²+(bd)² }+(a²+b²+c²+d²)+1
　　　　　　　　-(a²+b²+c²+d²)-2(ab+bc+cd+da+ac+bd)
　abcd=1 から
　　　A=2+(1/d²+1/a²+1/b²+1/c²)+{ (ab)²+(bc)²+(cd)²+(da)²+(ac)²+(bd)² }
　　　　　-2(ab+bc+cd+da+ac+bd)
　　　　=(1/a²+1/b²+1/c²+1/d²)+(ab-1)²+(bc-1)²+(cd-1)²+(da-1)²+(ac-1)²+(bd-1)²-4
　　　　　≧4{ 1/(a²b²c²d²) }¹/⁴-4=0  (AM-GM不等式から)

　等号成立は、a=b=c=d のとき、つまり、a=b=c=d=1 のとき。

３．a,b,c,d > 0 , abcd=1 のとき、不等式
　　　1/(a+1)²+1/(b+1)²+1/(c+1)²+1/(d+1)²≧1
　が示されていた。

　まず、
　　　1/(a+1)²+1/(b+1)²-1/(ab+1)={ (ab-1)²+ab(a-b)² }/{ (a+1)²(b+1)²(ab+1) }≧0
　なので
　　　1/(a+1)²+1/(b+1)²≧1/(ab+1)
　同様に
　　　1/(c+1)²+1/(d+1)²≧1/(cd+1)
　すると
　　　1/(a+1)²+1/(b+1)²+1/(c+1)²+1/(d+1)²≧1/(ab+1)+1/(cd+1)
　　　　=(ab+cd+2)/(abcd+ab+cd+1)=1  (abcd=1 から)
　したがって、与式が証明された。

　等号は　abcd=1 から、ab≠0 なので ab=1 かつ a=b のとき、つまり、a=b=1 。
　さらに cd≠0 なので、cd=1 かつ c=d のとき、つまり a=b=1 となる。まとめて
　　　a=b=c=d=1
　のときとなる。　

以上