回転座標系のベクトル時間微分 dA/dt=δA'/δt+ω×A の意味

１．まえがき

　慣性系S(x,y,z)と回転座標系S'(x',y',z')について、ベクトルAおよび角速度ベクトルωを使って
　　　　dA/dt=δA'/δt+ω×A　　　・・・・・・・・・・・・・・①
　という時間微分の関係式がある。しかし、この式が一般に図を使って導かれることからAやωが
　一体どの慣性系の量であるか明確でない。さらに、δ/δt（d'/dt, (d/dt)' とか）という記号の意
　味も明確でない。

　これらについて考察するが、簡単のため、S、S'系の原点が一致する場合とする。なお、δ(d')は
　変分・解析力学や熱力学でも不明確なまま使用されている。



２．ベクトルの時間微分

　慣性系SのベクトルAは基本単位ベクトル(e_x,e_y,e_z)を使って、
　　　　A=A_xe_x+A_ye_y+A_ze_z・・・・・・・・・・・・・・②
　と書ける。このベクトルAは回転系の基本単位ベクトル(e_x',e_y',e_z')を使って、
　　　　A=A'=A_x'e_x'+A_y'e_y'+A_z'e_z'　　・・・・・・・・・・・・・・③
　となる。ここで、「'」は基底ベクトルを明示する記号となる。

　このベクトルの時間微分は
　　　　dA/dt=dA'/dt={(dA_x'/dt)e_x'+(dA_y'/dt)e_y'+(dA_z'/dt)e_z'}
　　　　　　　　　　　　+A_x'de_x'/dt+A_y'de_y'/dt+A_z'de_z'/dt・・・・・④
　となる。このとき、S'系の基本ベクトルの微分もS'系のベクトルとして
　　　　de_i'/dt=ω_ix'e_x'+ω_iy'e_y'+ω_iz'e_z' (i=x,y,z)　・・・・・・・・・⑤
　と表される。このとき、直交関係 e_i'・e_j'=δ_ij (i,j=x,y,z)を微分すると
　(de_i'/dt)・e_j'+e_i'・(de_j'/dt)=0 が得られので
　　　　ω_ii'=0 , ω_ij'=-ω_ji'
　の関係がある。つまり、ω_ij' のうち、有効なパラメータは3つであり、ω'を
　　　　ω'=ω_yz'e_x'+ω_zx'e_y'+ω_xy'e_z' 　　　　・・・・・・・・・・・⑥
　と定義すると、⑤は
　　　　de_i'/dt=ω'×e_i'　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑦
　となる。これを④に入れると
　　　　dA/dt=dA'/dt=δA'/δt+ω'×A'　　　　　　　　　　・・・・・⑧
　を得る。ここで
　　　　δA'/δt=(dA_x'/dt)e_x'+(dA_y'/dt)e_y'+(dA_z'/dt)e_z'　　・・・・・⑨
　であり、δ/δtは（時間微分に関係した）演算子であり、決して時間微分ではない。その意味
　をみると、S'系に固定してみた（基本単位ベクトルが時間変化しないと考えた）時の時間微
　分になっている。このため、時間微分のような演算子記号を使う意味がある。

　ベクトルω'はS'系の基本単位ベクトルを使っているが、S系のものを使ってもかまわない。
　それをωとすると ω=ω'であるから、上のA=A'も使って、⑧を書き換えると
　　　　dA/dt=dA'/dt=δA'/δt+ω×A　　　　　　　　　　・・・・・⑧'
　となる。ここで、定義⑨から δA'/δt→δA/δt とできないことを注意しておく。

　つぎに、ベクトルAは任意だから⑧において A→ωとすると
　　　　dω/dt=dω'/dt=δω'/δt+ω'×ω'=δω'/δt　・・・・・・・・・⑩
　となり、よく知られた結果を得る。このときωが定ベクトルならω'もそうなる。以上で表題
　の関係式が導出過程とともに求められた。

３．ωの物理的な意味

　以上の議論は数学的な形式論のため、元々形式的なω'における基底ベクトルを変えたωが何
　を意味しているか今一つはっきりしない。そこで、簡単のため、ωが一定、AをS'系に固定さ
　れた（S'系で一定の）ベクトルとしたとき、AのS系での挙動を調べる。すると　δA'/δt=0
　だから、⑧'は
　　　　dA/dt=ω×A　　　・・・・・・・⑩
　つぎに、図２のようにAをωに平行な成分A₁と垂直な成分A₂に分ける。つまり、A=A₁+A₂、
　ω×A₁=0 だから、⑩は　dA₁/dt+dA₂/dt=ω×A₂　となる。A₁の方向は変わらないので、
　dA₁/dt の方向もωとなる。そして、ω×A₂の方向はωに垂直な成分だけだから、dA₁/dt=0
　である。

　結局、⑩は dA₂/dt=ω×A₂ となる。 すると、これを使って
　　　　d(A₂・A₂)/dt=2A₂・dA₂/dt=2A₂・(ω×A₂)=2ω・(A₂×A₂)=0
　となり、A₂の大きさが変化しない。したがって、ベクトルA、すなわち、それが固定された
　S'系はS系に対して、角速度ωで回転していることがわかる。つまり、回転系S' におけるベ
　クトルω'の慣性系S系への射影ωはS系に対するS'系の角速度ベクトルとなり、逆もそうなる。

４．加速度の変換式

　回転座標の運動方程式を求めるため、加速度の変換をするとき⑧を使って A=r として２回
　微分すると
　　　　dr/dt=δr'/δt+ω'×r'
　　　　d²r/dt²=(d/dt)(δr'/δt+ω'×r')=(δ/δt)(δr'/δt+ω'×r')+ω'×(δr'/δt+ω'×r')
　　　　　　　  =δ²r'/δt²+δω'/δt×r'+ω'×δr'/δt+ω'×δr'/δt+ω'×(ω'×r')
　　　　　　　  =δ²r'/δt²+δω'/δt×r'+2ω'×δr'/δt+ω'×(ω'×r')　・・・・・⑪
　となる。ここで、δ/δt は、ベクトル(e_x',e_y',e_z')を定数とみた微分なので、通常のベクトル
　微分公式を使った。最後に、⑨と前に述べたように右辺の基本ベクトルを変換すれば
　　　　d²r/dt²=δ²r'/δt²+dω/dt×r+2ω×δr'/δt+ω×(ω×r)　・・・・・・⑪'
　となるが、異なる基底ベクトルが混在しているので⑧' 以上に注意が必要となる。

　簡単なのは、ωが一定の場合で、方向をz軸に取り、rがx-y平面にある場合である。このとき、
　dω/dt=0、 ω×(ω×r)=(ω・r)ω-ω²r=-ω²r となり、
　　　　d²r/dt²=δ²r'/δt²+2ω×δr'/δt-ω²r　・・・・・・・・・・・・・⑫
　を得る。勿論、右辺の最後のrは基本ベクトルを変更してr' でもよい。

　以上をまとめるとベクトル式において A, dA/dt は基底べクトルを変更して A ⇔ A', dA/dt
　⇔ dA'/dt としてもかまわないが、δA'/δt は基底ベクトルが固定されたものだから δA/δtに
　変更することはできない。 ただし、ωについては⑩が成立つ。

以上