微分方程式 x²y''+xy'-3y=x³ の解

１．まえがき

　微分方程式
　　　x²y''+2xy'-2y=x³ ・・・・・・・・・①
　の一般解の解法がのっていたので紹介する（中国のサイトだった）。

２．計算

　x≠0 とし、t=log|x| 、D=d/dt と置く。すると
　　　dt/dx=1/x , y'=(dy/dt)(dt/dx)=(Dy)/x , y''=(Dy)'/x -Dy/x²= D²y/x²-Dy/x²  
　となり、元の式は
　　　(D²y-Dy)+2Dy-2y=x³  → D²y +Dy-2y=±e^3t
　となる。特性方程式は
　　　D²+D-2=(D-1)(D+2)
　なので、斉次式の一般解は
　　　y=Ae^t +Be^-2t =A|x|+B/x² 
　となるが、「±」は、任意定数 A に含めることがてきるので
　　　y=Ax+B/x² 
　とできる。

　つぎに、非斉次式の特殊解は微分演算子法から（①から Cx³の形であることはすぐわかる）
　　　y={1/(D²+D-2)} ±e^3t =±{1/(3²+3-2)}e^3t=±(1/10)e^3t =x³/10
　となり、①の一般解は
　　　y=Ax+B/x² +x³/10・・・・・・・・②
　となる。

　さいごに、x≠0 としたが、①において、x=0 のとき、y=0 であり、このように初期条件を
　を定めたときは、B=0 となり、この解は②に含まれる。以上により、x=0 を定義域に含め
　るか除外することにより、①の一般解は②となる。

３．計算２

　もう一つ
　　　x²y''-xy'+2y=0 ・・・・・・・・・③
　の一般解を求める（非斉次方程式の場合は上と同様）。同様に
　　　(D²y-Dy)-Dy+2y=0  → D²y -2Dy+2y=0
　となり、特性方程式は D² -2D+2=0 の解は D=1±√(1-2)=1±i なので、一般解は
　　　y=e^t(Acost+Bsint)=|x|{ Acos(log|x|)+Bsin(log|x|) }
　となるが、「±」は、A,Bに含めることができて
　　　y=x{ Acos(log|x|)+Bsin(log|x|) }　（x≠0）
　　　y=0 （x=0）
　となる（上式でも、x → 0 のとき、y → 0 であるが）。

４．あとがき

　なお、方程式が
　　　ax²y''+bxy'+cy=f(x)  ( f(x) はxの多項式。xⁿ の nは整数)
　であれば、特殊解が求められることは簡単にわかる。斉次式の一般解も解ける。
　さらに、f(x)も冪関数だけでなく、いくつかの関数（例えば、log x）でも特殊解が求め
　られる。

以上


[2021/8/16] あるサイトに、特殊な場合は簡単に求められる方法があった。
　　　x²y''-xy'+y=x²
　の場合、上のようにしても解けるが（特殊解は y=x² を入れればすぐわかる）、
　　　y''-y'/x+y/x²=1 → y''-(y/x)'=1 → y'-y/x=x+A → y'/x-y/x²=1+A/x
　　　 → (y/x)'=1+A/x → y/x=x+Alog|x|+B → y=x²+Axlog|x|+Bx
　をえる。