１．まえがき
ガリレイ変換は特に疑問もなく提示され受け入れられている。その原因はあまりに常識と
一致することによる。
あるサイトで、ガリレイ変換の根拠は何かという問題があり考えてみた。
２．原理
導出の原理として慣性系において
・ 特殊相対性原理の成立
・ 光速度は光源の速度を vとすると進行方向で c-v、反対方向で -c-v となる。
とする。ここで、cは光源が静止しているときの（真空中の）光速度である。
３．計算
まず、特殊相対論に倣って、変換を
x'=a(x-vt) , t'=bt+dx （定数 a,b,dはvの関数）
とする。まず、S系の原点に固定された光源から ±x方向に光を発射する。すると、S'系では
x'<0 のとき、S系の原点は近づくから光速度は -c-v、x'>0では遠ざかるので、c-v となる。
また S系では x=±ct だから
x'/t'=±c-v=a(x-vt)/(bt+dx)=a(±c-v)/(b±dc) → a=b±dc
となる。この２式を解くと
a=b , d=0
を得る。つまり
x'=a(v)(x-vt) , t'=a(v)t・・・・・・①
となる。特殊相対性原理から
x=a(-v)(x'+vt') , t=a(-v)t'
となる。すると、これらの t', tの式から
a(v)a(-v)=1・・・・・・・・②
を得る。同様に
x'=a(v){a(-v)(x'+vt')-va(-v)t'}=a(v)a(-v)x' → a(v)a(-v)=1
と確認される。
つぎに、座標は勝手に設定したものだから、(x, x') → (-x, -x')の方向に設定しても物理は変
わらない。このとき、v → -v だから①は
-x'=a(-v)(-x-(-v)t) → x'=a(-v)(x-vt)
となる。元の式と比較すると
a(v)=a(-v)
を得る。②から a(v)²=1 → a(v)=±1 となり、v=0 のとき、x, x'は一致するから、a(0)=1 とな
り、結局、a(v)=1 を得る。つまり、ガリレイ変換
x'=x-vt , t'=t
を得る。
以上