冪表示から対数関数を導く

対数関数の冪表示は
　　
だった。iは無限大数である。これまで右辺が左辺になることを見てきたが、こんどは左辺の冪表示が右辺の対数関数になることを確認しておこう。
まず、
　　
である。ここで、1/i＞０、(1＋x)^1/i＞1だから、
　　
とおくと、iは無限大数に対して、jも無限大数になる。（i→∞のとき、j→∞である。）
底を1＋xとして、両辺の対数をとると、
　　
である。したがって、
　　
途中で、
　　
を使った。
したがって、
　　
となる。