eは指数関数の特別な形として出現

ネイピア数eは名付けられないまま様々な形で現れていた。

1　自然対数の底として（底という言葉もオイラーが言い始めたという説がある）
　　
2 　ヤコブ・ベルヌーイの「連続複利の元利合計」として
　　　
3　ヨハン・ベルヌーイの「対数が1となる数」として
　　

オイラーはeを抽出して名指しするのだが、それは指数関数の特別な形として現れた。

志賀浩二によれば、指数と対数の双対的な関係が明確になってきたのは1740年代だという。『無限解析』（1748年）の直前である。オイラーは
　　　　　a^z＝y 　　(　z＝log_ay )
を基礎として、ここに微分係数
　　
の関係を重ねてみたのではないだろうか。

微分の起点は0と1、これは加法と乗法の単位元である。指数関数を導く端緒として
　　　a⁰＝1
が設定され、微小な変位が導入される。
　　
これに、まったく無造作に、代数操作（累乗）がなされ、次の式が導き出される。
　　
ここに、改めて　a^z＝y　が投影されて、指数関数が、
　　
と表わされる。ここで、k＝1、z＝1のときa＝eである。オイラー以前に指数関数はなかった。オイラーがはじめて冪から出発して指数関数を作り、eを指摘することになったのである。