イチジクの収穫

昨日からイチジクを採りはじめた。できるだけ完熟したものを採り皮ごと食べる。タイミングが大事である。いまは鳥に気づかれていないので、蟻とカミキリムシとの競争である（鳥は熟した実だけを啄みにくる）。実を指で押し熟したものを採っている。昨日は4個、今日は2個。
イチジクは水をこのみ、夏場は庭植えでも水をやった方がよいとあった。葉が落ちるのは水不足が原因だという。おそらく葉が変色するのも。知らなかった。これまで天気まかせだった。

女性の職場

女性にとって仕事と子育てを両立しやすい職場は公務員とNHKくらいではないだろうか。民間では中小企業はもとより大企業でも難しいのではないだろうか。何が違うのだろうか。
とはいえ、零細企業でも両立できている「かあちゃん」はいて、制度だけではないのだと思う。

熱力学第1法則

2通りの表現がある。
物体に与えた熱量Q[J]と物体にした仕事W[J]の和は、物体の内部エネルギーの変化⊿U[J]に等しい。
⊿U=Q+W
これは例えば、数研出版の物理の教科書の立場で、外部からの仕事をWと定義したものである。
一方、気体が外部にする仕事をWとする定義もある。このときは内部エネルギーは減る。
⊿U=Q-W
この式を
Q=⊿U+W
と変形して、熱量の増加、仕事を圧力×体積変化に置換えると
⊿Q=⊿U+P⊿V
ができる。この式は、加熱して熱を加えると、気体の温度が上がり、ピストンが外側に押し出される現象と対応する。『橋元流解法の原則』（橋元淳一郎、学習研究社）で熱力学第1法則として提示されている式である。
最初の定義は内部エネルギーの変化の外的要因が2つあるのに対して、後の定義は外的要因が熱だけで内部エネルギーの変化を捉えているところに特徴がある。⊿Q=⊿U+P⊿Vを使うと解きやすい問題がある。

待つ

昨日はN市役所の合格発表の日だった。娘の第1志望である。娘は市役所へ発表を見に行った。「ドキドキする」といいながら。私は市役所のホームページで娘の受験番号を確認して、妻とともに安堵したのだが、娘は少し違った。娘は市役所で自分の受験番号を確認し、ネットでも確認している。しかし、本当に事実なのか、文書で確認するまで不安なのだという。国家公務員の合格通知は、発表の当日、期日指定の郵便で届いていた。N市は発表の当日、普通郵便で送るのだという（ずいぶん節約できる）。今日は朝からその通知を待っていたのである。待っているとなかなか来ないのである。「採用候補者名簿記載通知書」が届いたのは午後5時すぎだった。

ナガサキアゲハの交尾

雨上がりに蜜柑の木をみると、黒い蝶が止まっている。2匹重なっているように見える。ナガサキアゲハの成虫は年3～6回、4～10月に発生するという。写真が交尾の標準形のようだ。上向きがメス、下向きがオスである。蝶の名前を知ったのは去年の5月だった。幼虫や蛹も見たいものである。


ナガサキアゲハ

夏の赤い花

開花は遅れたが、今は順調に咲いている。いつもはせいぜい3輪までだが、今日はタイミングがよかったのか6輪咲いていた。近づいて見ると、気品を感じる。紅葉葵 （もみじあおい）、夏の赤い花。

イチジクにカミキリムシ

今朝のラジオ体操のとき気づいた。イチジクが1つだけ色づいている。ずっと気になっていた。去年に比べて色づくのが3週間遅かったことになる。近づいていくとカミキリムシがいる。いいではないか。梅に鶯、牡丹に蝶。無花果に髪切虫。

連続する自然数の積和公式の導き方 まとめ

これまで提出してきた連続する自然数の積和公式の導き方をまとめておこう。導き方の基本は差分f(k)－f(k-1)と和分Σ{f(k)－f(k-1)}である。

連続する自然数の積k(k+1)(k+2)…(k+m－1)に、次の自然数(k+m)と前の自然数(k-1)を乗じて、差をとる。
k(k+1)(k+2)…(k+m－1)(k+m)－(k-1)k(k+1)(k+2)…(k+m－1)
これを整理すると、
={(k+m)－(k-1)}k(k+1)(k+2)…(k+m－1)
=(m+1)k(k+1)(k+2)…(k+m－1)
ここで、f(k)=k(k+1)(k+2)…(k+m－1)(k+m)とおくと(k-1)k(k+1)(k+2)…(k+m－1)=f(k-1)である。
したがって
f(k)－f(k-1)
=(m+1)k(k+1)(k+2)…(k+m－1)
これを逆にみると、
k(k+1)(k+2)…(k+m－1)=1/(m+1)・{f(k)－f(k-1)}
ここでk=1からk=nまでの和をとる（和分する）。
Σk(k+1)(k+2)…(k+m－1)=1/(m+1)・Σ{f(k)－f(k-1)}
Σ{f(k)－f(k-1)}を書き下ろすと、
f(1)　　－　　f(0)
f(2)　　－　　f(1)
f(3)　　－　　f(2)
…
f(n-1)　－　f(n-2)
f(n)　　－　f(n-1)
したがって、
左下のf(n)だけとなり、
Σk(k+1)(k+2)…(k+m－1)=1/(m+1)・f(n)
=1/(m+1)・k(k+1)(k+2)…(k+m－1)(k+m)
これが連続する自然数の積の和の公式となる。基本の導出は差分と和分である。

連続する自然数の積k(k+1)(k+2)…(k+m－1)を階乗k^(m)で表記すると
公式の内部は
Σk^(m)
=1/(m+1)・k^(m+1)
となる。
また、連続する自然数の積k(k+1)(k+2)…(k+m－1)を二項係数_k+m-1C_mで表記すると
公式は次のようになった。
m!・Σ _k+m-1C_m
=m!・ _n+mC_m+1
また、連続する自然数の積k(k+1)(k+2)…(k+m－1)を順列_k+m-1P_mで表記すると公式は次のようになった。
Σ _k+m-1P_m
=1/(m+1)・ _n+mP_m+1

階乗関数を導入すると微積分との関連が明らかになる。
すなわち、
k^(m)を差分するとm・k^(m-1)。
また、和分すると1/(m+1)・k^(m+1)である。
これは累乗関数k^mを微分するとk^m-1、
また積分すると1/(m+1)・k^m+1になることと対比できる。

次に、二項係数を導入すると連続する自然数の積和公式とパスカルの三角形の関連が明らかになる。
二項係数を使うと差分の表現が
_k+m-1C_m = _k+mC_m+1 － _k+m-1C_m+1となった。
差分を強調すれば、
_k+m-1C_m = _k+mC_m+1 － _(k-1)+mC_m+1となった。
ここでn=r+m 、r=mとすると
_n-1C_r-1 = _nC_r－_n-1C_rである。これはパスカルの三角形に認められるよく知られた公式 _nC_r = _n-1C_r-1 + _n-1C_rである。これが連続する自然数の積和公式がパスカルの三角形に現れる根拠である。
順列を導入すると公式をすぐに書き下ろせる。
例えば
Σk(k+1)(k+2)
=Σ _k+2P₃
=1/4・_k+4P₄
=1/4・n(n+1)(n+2)(n+3)
しかし、階乗関数や二項係数の導入と比べると他の分野との関連に明確なものがない。

順列による表現

連続する自然数の積k(k+1)(k+2)…(k+m－1)を階乗関数k^(m)を使って表現したが、あまり馴染みがあるとは思えない。また、二項係数で公式を書くとき、連続する自然数の積を表すためにm!を乗じなければないことが気になっていた。順列_nP_rを使ってみる。
例えば、k(k+1)(k+2)はk⁽³⁾や3!・_k+2C₃だったが、これを_k+2P₃と表現する。k(k+1)(k+2)(k+3)は_k+3P₄である。
順列を使って、公式を導いた過程をふりかえってみよう。
Σk(k+1)(k+2)=1/4・n(n+1)(n+2)(n+3)を例にとろう。
連続する部分（k(k+1)(k+2)）に次の項と前の項をかけて引き算する。
k(k+1)(k+2)(k+3)－(k－1)k(k+1)(k+2)
={(k+3)－(k－1)}k(k+1)(k+2)
=4k(k+1)(k+2)
まずこの部分を順列を使って表すと、
_k+3P₄－_k+2P₄
=4_k+2P₃
である。
したがって、
_k+2P₃=1/4・(_k+3P₄－_k+2P₄)
ここで、f(k)=_k+3P₄とすると_k+2P₄=f(k-1)である。_k+3P₄－_k+2P₄は差分になっている。強調して書けば、_k+3P₄－_(k-1)+3P₄である。
k=1からk=nまでの和をとると、
Σ_k+2P₃=1/4・Σ(_k+3P₄－_k+2P₄)
Σ(　　)の部分を書き下ろすと、
₄P₄　　　－　　　₃P_4
5P₄　　　－　　　₄P_4
6P₄　　　－　　　₅P₄
…
_n+2P₄ 　　－　　_n+1P_4
n+3P₄ 　　－　　_n+2P₄
Σ(　)の中は左下の_n+3P₄だけになり、
Σ_k+2P₃
=1/4・_n+3P₄
=1/4・ n(n+1)(n+2)(n+3)
Pの下付文字がそれぞれ1ずつ増えていること、また1/4と下付文字の4が対応しているところに、積分との関連を見ることができる。
連続する自然数の積の和の一般式は
Σk(k+1)(k+2)…(k+m－1)=1/(m+1)・n(n+1)(n+2)…(n+m)
だが、順列を使うと
Σ_k+m-1P_m=1/(m+1)・_n+mP_m+1
と書ける。

まとめ
Σk(k+1)(k+2)…(k+m－1)
=Σ_k+m-1P_m
=1/(m+1)・Σ(_k+mP_m+1－_(k-1)+mP_m+1)
=1/(m+1)・_n+mP_m+1
=1/(m+1)・n(n+1)(n+2)…(n+m)

連続する自然数の積和公式とパスカルの三角形

二項係数を使って連続する自然数の積和の公式を導くときの核心は
Σ_k+m-1C_m =_n+mC_m+1であった。
これは二項係数の関係を表す公式_nC_r = _n-1C_r-1 + _n-1C_r から導かれたものである。この公式はパスカルの三角形に認められる関係である。それゆえ、連続する自然数の積和公式とパスカルの三角形は関係している。

まず、パスカルの三角形における数値と二項係数の配列を確認しておこう。




ここで無限に広がっていく三角形を考える。そして、右上から左下へ連続する数字の配列に着目する。左側に1　1　1　1　1　1　… があり、次にそれと平行に1　2　3　4　5　… がある。次には1　3　6　10　… があり、次は1　4　10　… である。…　。
ここでこれらの数値を下のように、1行目、2行目、…に並べかえる。
1　　1　　1　　1　　1　　1　　1 　1
1　　2　　3　　4　　5　　6　　7
1　　3　　6　　10 　15 　21
1　　4　　10 　20 　35
1　　5 　 15 　35
1　　6 　 21
1　　7
1
このようにしてそれぞれの行でn個の数の和を求めると、連続する自然数の積の和の公式と対応していることがわかる。すなわち、k=1からk=nまでの合計をΣで表すと、
1行　　Σ1=n
2行　　Σk=1/2・n(n+1)
3行　　Σk(k+1)=1/3・n(n+1)(n+2)
4行　　Σk(k+1)(k+2)=1/4・n(n+1)(n+2)(n+3)
5行　　Σk(k+1)(k+2)(k+3)=1/5・n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
…
m+1行　Σk(k+1)(k+2)…(k+m－1)=1/(m+1)・n(n+1)(n+2)…(n+m)
である。1行は自明として、2行目から確認してみよう。

1+2+3+… = ₁C₁ + ₂C₁ + ₃C₁ + … + _nC₁
=Σ _kC₁
= _n+1C₂
=1/2!・n(n+1)
ここで、
₁C₁ + ₂C₁ + ₃C₁ + … + _nC₁
=1/1!(1+2+3+… +n)
=1/1!・Σk
したがって、
1/1!・Σk=1/2!・n(n+1)
1!をかけて
Σk=1/2・n(n+1)

3行目
1+3+6+… = ₂C₂ + ₃C₂ + ₄C₂ + … + _n+1C₂
=Σ _k+1C₂
= _n+2C₃
=1/3!・n(n+1)(n+2)
ここで、
₂C₂ + ₃C₂ + ₄C₂ + … + _n+1C₂
=1/2!・( 1・2 + 2・3 + 3・4 + … + n(n+1))
=1/2!・Σk(k+1)
したがって、
1/2!・Σk(k+1)=1/3!・n(n+1)(n+2)
2!をかけて
Σk(k+1)=1/3・n(n+1)(n+2)

4行目
1+4+10+… = ₃C₃ + ₄C₃ + ₅C₃ + … + _n+2C₃
=Σ _k+2C₃
= _n+3C₄
=1/4!・n(n+1)(n+2)(n+3)
ここで、
₃C₃ + ₄C₃ + ₅C₃ + … + _n+2C₃
=Σ _k+2C₃
=1/3!・( 1・2・3 + 2・3・4 + 3・4・5 + … + n(n+1)(n+2))
=1/3!・Σk(k+1)(k+2)
したがって、
1/3!・Σk(k+1)(k+2)=1/4!・n(n+1)(n+2)(n+3)
3!をかけて
Σk(k+1)(k+2)=1/4・n(n+1)(n+2)(n+3)
…

m+1行目
1 + (m+1) + (m+1)(m+2)/2!+… = _mC_m + _m+1C_m + _m+2C_m + … + _n+m-1C_m
=Σ _k+m-1C_m
= _n+mC_m+1
=1/(m+1)!・n(n+1)(n+2) … (n+m)
ここで、
_mC_m + _m+1C_m + _m+2C_m + … + _n+m-1C_m
=Σ _k+m-1C_m
=1/m!・( 1・2・…・m 　+　 2・3・…・(m+1)　 +　 3・4・…・(m+2)　 +　 … + 　n(n+1)(n+2)…(n+m-1))
=1/m!・Σk(k+1)…(k+m-1)
したがって、
=1/m!・Σk(k+1)…(k+m-1)=1/(m+1)!・n(n+1)(n+2) … (n+m)
m!をかけて、
Σk(k+1)(k+2)…(k+m－1)=1/(m+1)・n(n+1)(n+2)…(n+m)