指数関数と対数関数の冪表示

125節

底aと比kと変数zが満たすべき関係」（117節）は
　　　
だった。k＝１のとき、底はeになるから、
　　
となる。
オイラーは125節（7章最終節）でこの関係を確認して、まず、任意の指数関数の無限級数表示を示し、次に指数関数と対数関数の冪表示を導いている。
まず、
　　
と置いて、両辺の双曲線対数をとると、log e＝1より、
　　
である。これをzに代入して、
　　
となる。「任意の指数量が、双曲線対数の助けを借りて、無限級数を用いて書き表されることになる。」これは§117の級数表示（底a）でk＝1としたものである（注1）。
次に冪表示を導いている。iを無限大数とすると、
　　
であるから、
　　
となる（注1）。

さらに、双曲線対数に対して、
　
という等式を示している。これは§119（底a）の冪表示でk＝1としたものである（注2）。

注1（bをaに、zをyに置き換えて、）
　　
　　
注2　(　)をつけて