リスクが従う二つの分布

　ガラス板を破壊すると、破片は幾つかの大きなものと無数の粉々のものになり、その構成がべき分布になるというのは、よく知られていて、べき分布の典型例として挙げられることも多い。ところが、それは高いエネルギーで破壊すると、そうなるのであって、低いエネルギーであると、対数正規分布になるそうである。

　また、べき分布と対数正規分布は、裾野の部分を除いて似通っており、裾野も分散が大きくなると、べき分布に近似して、見分けがつかないようになるらしい。対数正規分布をべき分布にするには、対数正規分布の基となる乗算過程(変化量が現在量に比例する)に、増幅する作用をもつ項を加えることで可能になるようだ。どうも、べき分布と対数正規分布は「地続き」であり、これは経済のリスクを考える上でも非常に興味深い。

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　有名な話だが、オプション価格を算出するブラック・ショールズ方程式では、株価変動の分散が対数正規分布に従うことを前提としている。対数正規分布は、変数の対数を取ったものが正規分布に従うのであるから、当然、分散の計算が可能だ。しかし、実際の変動は、もっと激しく、分散が無限大であるべき分布になると批判され、今では、リスクを大き目に設定する形に改良して使われている。

　2/23のコラムで、ケインズやナイトの言う「不確実性」は、論理的な必然性から、一般のリスクとは次数が異なるものとして、べき分布のリスクと解釈すれば良いということを述べた。分散が無限大の「不確実性」となれば、合理的期待も持ちようがなかろうというわけである。仮に、対数正規分布だとしても、リスクを大き目に設定すれば、その分だけ不効率が生じ、これに相互作用が働いて増幅されれば、容易にべき分布に発展すると想像がつく。

　設備投資に関する、経営者の需要に対するリスク感覚として、安定していれば、金利プレミアム程度のリスク、変動がある下では、対数正規分布の有限の分散のリスク、変動が大きくなるにつれ、分散は拡大し、ついには、無限大のべき分布の分散リスクに至るということになろうか。要するに、需要の変化に対して、急速にリスク感覚が強まるのである。

　むろん、分散が有限であるうちに「超」合理的にリスクを取ると仮定すれば、リスクの発展はないかもしれないが、それは破れやすい構造にある。他者も裏切らずに「超」合理的に行動するとか、自身も分散に必要な十分に長い持ち時間があるとかの「強い」仮定が必要になる。結局、べき分布のリスクがあるとの疑いが生じた途端、その発生が避けられなくなるという悩ましさがある。

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　需要に対して、本当にべき分布のリスクがあるかどうかは、GDPデータは四半期だから、分析できるだけの情報量が不足していて、なかなか実証に至るのは難しいと思う。ただし、もし、それが真実だとして、ここから導き出される経済運営の要諦は、需要にショックを与える一気の増税のようなことは避けるという常識的なものだから、政策コストが高いわけではない。政策は、実証を待たず、蓋然性でもって判断せざるを得ないことが多い。そういう場合のリスクとコストのバランス感覚こそが大切であろう。

※参考：國仲寛人・小林奈央樹・松下貢「複雑系に潜む規則性－対数正規分布を軸にして－」(物理学会誌2011.9)

(今日の日経)
　攻めの借金事業拡大。人民元変動幅2%に。第3子給付手厚く・諮問会議。性同一性障害特例法。中国、ニコンを標的。東芝の漏洩でも切れぬ提携。ケーズ社長・駆け込みで説明できないものも。建設職人はなぜ消えた・流動化で賃金高騰・志田富雄。

※性同一性のような一隅を照らす立法こそ議員の役割だね。※志田さん、いいね。人材流動化は成長するときには足枷になるものだ。