結晶格子の座標変換

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ウィキペディア「結晶構造」には載っていないけど、
Wikipedia「Lattice constant」には載っている、
結晶格子のベクトル表示図がある。




結晶格子の単位格子(unit cell)は、
良く利用(？)している CIFファイルなどに記述されている。

３軸方向の長さ、a, b, c と、
各軸間のなす角度、alpha, beta, gamma で表されている。

そこで、結晶の各軸を表す単位ベクトルを、
３次元(ｘｙｚ)空間のベクトルとして表したい！

条件として、
ベクトルc をｚ軸に重ね、
ベクトルb をｙｚ平面(ｘ座標の値がゼロ)とする。
これで、
ベクトル a, b, c は { x, y, z } で表されるはず。

で、どうすればいいの。

（１）ベクトルc
条件から、
ｘ座標値はゼロ、ｙ座標値はゼロで、ｚ座標値はｃですね。
従って、ベクトルc のxyz座標は、{ 0, 0, c } となりますネ。

（２）ベクトルb
条件から、
ｘ標値はゼロですね。
次に、ベクトルb の先端からｚ軸に垂線(垂直な線)を引いて出来る
直角三角形を考えると、ｚ軸からのなす角度が alpha だから、
ｚ座標値は b*Cos[alpha]で、ｙ座標値は b*Sin[alpha]となりますね。
従って、ベクトルb のxyz座標は、{ 0, b*Sin[alpha], b*Cos[alpha] } だナ。

（３）ベクトルa
ベクトルa の先端からｚ軸に垂線を引いて出来る
直角三角形を考えると、ｚ軸からのなす角度が beta だから、
ｚ座標値は a*Cos[beta]ですね。

問題は、ｘ座標、ｙ座標の値です。
なかなかの難問ですが、・・・

こういうときは、方程式を作って解いてみる？

２つのベクトルの内積は云々カンヌンで、・・・

ベクトルa のｘ座標、ｙ座標、ｚ座標を、それぞれ、ab、ay、az とすると、

ベクトルa とベクトルb のなす角度がgamma なので,

ベクトルa 即ち{ ax, ay, az }と、
ベクトルb 即ち{ 0, b*Sin[alpha], b*Cos[alpha] }の内積が、
a*b*Cos[gamma]となるわけだ。

そして、ベクトルa の長さがa だから、
ax^2 + ay^2 + az^2 ＝ a^2 となるナ。

さらに、az=a*Cos[beta]だったから、

結局、ax、ay に関する２元の連立方程式が出来る！

でも、こんな、三角関数を含んだ方程式はどうして解けば良いの？？？

そんなの「Mathematica」を使えばアッと云う間だヨ？？？

そう？
じゃ解いてみるね。


（簡単化して、a, b を省略(１と)した）


つまり、
ay = a*( Cos[gamma] - Cos[alpha] * Cos[beta] ) / Sin[alpha]
ax^2 = a^2*Sin[beta]^2 - ay^2

ですか？

そのようですネ。

と云うことで、

３軸方向の長さ、a, b, c と、
各軸間のなす角度、alpha, beta, gamma を与えて、
ベクトルa、ベクトルb、ベクトルc のそれぞれのxyz座標を求める、
Perlプログラムを作りました。
(Active Basicで無いのは、UNIX でも使えるようにです。)
(なお、「^」はべき乗を表す。Perl では「**」ですね。)


と云うことで、今日の 部活動 は終了です。
今日は、「化学」じゃなくて「物理」か「数学」だったかナ？　 　　　



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