不等式
(1/2)(3/4)(5/6)･･･{ (2n-1)/2n } < 1/√(3n)
を証明する問題があった。数学的帰納法を使ったがうまくいかない。
１．解
An=(1/2)(3/4)(5/6)･･･{ (2n-1)/2n }
とする。
0 < a < b → a/b < (a+1)/(b+1)
を使うと
An²=(1/2)(1/2)(3/4)(3/4)(5/6)(5/6)･･･{ (2n-1)/2n }{ (2n-1)/2n}
< (1/2)(2/3)(3/4)(4/5)(5/6)(6/7)･･･{ (2n-1)/2n }{ (2n)/(2n+1)}
=1/(2n+1) < 1/2n
したがって、
An < 1/√(2n)
はすぐわかる。
もう少し、変形して、n≧6 のとき
(An)²=(1/2)(1/2)(3/4)(3/4)(5/6)(5/6)･･･{ (2n-1)/2n }{ (2n-1)/2n}
={ (1/2)(3/4)(5/6)(7/8)(9/10) }² (11/12)(11/12)(13/14)･･･{ (2n-1)/2n }{ (2n)/(2n+1)}
< (1/2)(3/4)(5/6)(7/8)(9/10) }² (11/12)(12/13)(13/14)･･･{ (2n-1)/2n }{ (2n)/(2n+1)}
=(1/2)(3/4)(5/6)(7/8)(9/10) }² 11/(2n+1)
< (1/1.5)/(2n)=1/3n
したがって
An < 1/√(3n)
を得る。さらに
A₁=0.5 , 1/√3 > 0.57 → A₁ < 1/√3
A₂ < 0.38 , 1/√6 > 0.4 → A₂ < 1/√6
A₃ < 0.32 , 1/√9 > 0.34 → A₃ < 1/√9
A₄ < 0.274 , 1/√12 > 0.28 → A₄ < 1/√12
A₅ < 0.247 , 1/√15 > 0.25→ A₅ < 1/√15
よって、命題が証明された。
２．別解
An < 1/√(3n) ・・・・・・・①
の証明は難しいので
An≦1/√(3n+1) ・・・・・・②
を証明する回答ががあった。これを示せば上の成立は自明。
n=1 のとき、②は成立。nのとき、②の成立を仮定すると
A[n+1]=An(2n+1)/(2n+2)≦{ (2n+1)/(2n+2) }/√(3n+1)
となる。そこで
B={ (2n+1)/(2n+2) }/√(3n+1) - 1/√(3n+4)
={ (2n+1)√(3n+4)-(2n+2)√(3n+1) }/{√(3n+1)√(3n+4)}
を考える。この式の正負は分子の各項は正なので、２乗した差でも変わらないから
C=(2n+1)²(3n+4)-(2n+2)²(3n+1)=-n < 0 → B < 0
となり、結局
A[n+1]≦1/√(3n+4)
となり、帰納法により②、すなわち①が証明された。
以上