1. まえがき
I[n]=∫[0,∞] (sin x)n/xn dx , J[n,m]=∫[0,∞] (sinnx cosmx)/xn dx とおく。
I[1]=∫[0,∞] (sin x)/x dx=π/2 であるが、これを使って類似の積分を求める。
2. 積分計算
(1) J[1,1]=∫[0,∞] (sin x cos x)/x dx=π/4
J[1,1]= (1/2)∫[0,∞] (sin 2x)/(2x) d(2x)=I[1]/2=π/4
(2) I[2]=∫[0,∞] (sin x/x)² dx=π/2
I[2]=[sin²x(-1/x)][x=∞,0]-∫[0,∞] 2(sin x cos x)(-1/x) dx・・・部分積分
=0+2∫[0,∞] (sin x cos x)/x dx=2J[1,1]=π/2 （ (1)の結果 ）
(3) J[1,2]=∫[0,∞] (sin x cos²x)/x dx=π/4
倍角、積和の公式から
sin x cos²x=(sin2x cos x)/2=(sin3x+sin x)/4
となり
J[1,2]=(1/4)∫[0,∞] (sin 3x+sin x)/x dx
=(1/4){ ∫[0,∞] (sin 3x)/(3x) d(3x)+∫[0,∞] sin x/x dx }
=(I[1]+I[1])/4=(π/2+π/2)/4=π/4
(4) J[1,3]=∫[0,∞] (sin x cos³x)/x dx=3π/16
倍角、積和の公式から
sin x cos³x=(sin 2x cos²x)/2={(sin3x+sin x)cos x}/4
=(1/4){ (sin4x+sin2x)/2+(sin2x)/2 }={ (sin4x)/2+sin2x)/4
となり
J[1,3]=(1/4){ (1/2)∫[0,∞] (sin4x)/(4x) d(4x)+∫[0,∞] (sin2x)/(2x) d(2x) }
=(1/4) ( I[1]/2+I[1] )=(3/8)I[1]=3π/16
(5) J[2,1]=∫[0,∞] (sin²x cos x)/x² dx=π/4
J[2,1]=(1/2)∫[0,∞] (sin x sin 2x)/x² dx・・・倍角の公式、部分積分
=(1/2){ [(sin x sin 2x)(-1/x)][x=∞,0]
-∫[0,∞] (cos x sin 2x+2sin x cos 2x)(-1/x) dx }
=(1/2){ 0+∫[0,∞] (cos x sin2 x+2sin x cos 2x)/x dx }
=(1/2){ ∫[0,∞] { (sin3x+sin x)/2+(sin3x-sin x) }/x dx }
=(1/2){ ∫[0,∞] (3/2)sin3x/x dx - (1/2)∫[0,∞] sin x/x dx }
=(1/4){ ∫[0,∞] 3sin3x/(3x) d(3x) - ∫[0,∞] sin x/x dx }
=(1/4){ 3I[1]-I[1] }=(1/4)2(π/2)=π/4
(6) I[3]=∫[0,∞] (sin x/x)³ dx=3π/8
I[3]=[sin³x{-1/(2x²)] [x=∞,0] - ∫[0,∞] (3sin²x cos x){-1/(2x²)} dx
=0+(3/2)∫[0,∞] (sin²x cos x)/x² dx=(3/2)J[2,1]=3π/8 ( (5) から)
(7) J[3,1]=∫[0,∞] (sin³x cos x)/x³ dx=π/4
J[3,1]=[ (sin³x cos x){ -1/(2x²) } ] [x=∞,0]
- ∫[0,∞] { 3sin²x cos²x-sin³x sin x }{ -1/(2x²) } dx
=0+∫[0,∞] { 3(sin x cos x)² - (1-cos²x)sin²x }/(2x²) dx
=∫[0,∞] { 4((1/2)sin 2x)² - sin²x }/(2x²) dx
=∫[0,∞] { (sin 2x/2x)² d(2x) - (1/2)∫[0,∞] (sin x /x)² dx
=I[2]-(1/2)I[2]=I[2]/2=π/4 ( (2)から )
(8) I[4]=∫[0,∞] (sin x/x)⁴ dx=π/3
I[4]=[sin⁴x{-1/(3x³)] [x=∞,0] - ∫[0,∞] (4sin³x cos x){-1/(3x³)} dx
=0+(4/3)∫[0,∞] (sin³x cos x)/x³ dx=(4/3)J[3,1]=(4/3)π/4=π/3 ( (7)から )
3. 一般化
一般的な公式は求められなかったが、以下のように手間さえかければ、J[n,m] は
計算できる。その手順を述べる。
(1) J[1,m]=∫[0,∞] (sin x cosmx)/x dx の計算
倍角、積和の公式により、
sin x cosmx=(sin2x cosm-1x)/2=(sin3x+sin x)cosm-2x)/4
のように、cosの次数mを0になるまで、下げて、sin kx の和とすることがで
き、最終的に、I[1]の定数倍の和になる。つまり、この形式は計算できる。
(2) I[n]=∫[0,∞] (sin x)n/xn dx の計算
I[n]=[ (sin x)n/{-(n-1)xn-1} ] [x=∞,0] +{1/(n-1)}∫[0,∞] (n sinn-1x cos x)/xn-1 dx
=0+{n/(n-1)}∫[0,∞] (sinn-1x cos x)/xn-1 dx={n/(n-1)} J[n-1,1]
(3) J[n,1]=∫[0,∞] (sinnx cos x)/xn dx の計算。
J[n,m]=[(sinnx cos x)/{-(n-1)xn-1} ] [x=∞,0]
-∫[0,∞] (n sinn-1x cos2x - m sinn+1x)/{-(n-1)xn-1} dx
=0+{1/(n-1)}∫[0,∞] (n sinn-1x cos2x - sinn-1x(1-cos2x))/xn-1 dx
={1/(n-1)}∫[0,∞] { (n+1)sinn-1x cos2x - sinn-1x}/xn-1 dx
={(n+1)/(n-1)}J[n-1,2] - {1/(n-1)}I[n-1]
={(n+1)/(n-1)}J[n-1,2] - {1/(n-2)}J[n-2,1] (上の(2)を使用)
つまり、nの次数を1にまで、順次下げることができる。
(4) J[n,n]=∫[0,∞] (sinnx cosnx)/xn dx は倍角の公式から、次の表示もできる。
J[n,n]=∫[0,∞] (sin 2x)n/(2x)n dx=(1/2)∫[0,∞] (sin 2x)n/(2x)n d(2x)=I[n]/2
(5) J[n,m]=∫[0,∞] (sinnx cosmx)/xn dx の計算。
J[n,m]=[(sinnx cosmx)/{-(n-1)xn-1} ] [x=∞,0]
-∫[0,∞] (n sinn-1x cosm+1x - m sinn+1x cosm-1x)/{-(n-1)xn-1} dx
=0+{1/(n-1)}∫[0,∞] (n sinn-1x cosm+1x - m sinn-1x(1-cos2x) cosm-1x)/xn-1 dx
={1/(n-1)}∫[0,∞] { (n+m)sinn-1x cosm+1x-m sinn-1x cosm-1x }/xn-1 dx
={(n+m)/(n-1)}J[n-1,m+1] - {m/(n-1)}J[n-1,m-1]
つまり、nの次数を1にまで、順次下げることができる。したがって、n≦m
のときは、上の J[1,m] に帰着する。n>m のときは、上の(1)-(4)を使って
次数を下げることができる。
以上