台の上にバネとゴム紐に接続された小球と台の水平運動(2)

1.　まえがき
　前回より複雑な事例を述べる。

2.　問題
　図のように、水平な床上に質量Mの台Qがある。台Qの水平な上面にはばね定数kのばねを、左
　側に、ばね定数2kのゴムひもを右側につけた質量mの物体Pがある。ばねとゴムひもの他端は
　台Qに固定されてる。このとき、ばねとゴム紐は自然長である。

　ばねが自然長の時の物体Pの位置を原点x=0として、台Qに固定した右向きのx軸をとる。はじ
　め物体Pはx=2dの位置でつりあっていた。装置各部の摩擦や空気抵抗、物体Pの大きさ、ばね
　とゴムひもの質量は無視でき、たるんだゴムひもがPや台Qの運動を妨げることはないとする。

　(1) 台Qを床に固定したまま物体Pをx=3dの位置までずらして静かに放すと、Pはつりあいの位
　　置を中心とする振幅dの単振動を行なった。この単振動の周期をもとめよ。

　(2) 台Qを床に固定したまま物体Pをx=0の位置までずらして静かに放すと、Pは往復運動を行な
　　った。
　　(a) 物体Pの速さの最大値を求めよ。
　　(b) 物体Pのx座標の最大値を求めよ。
　　(c) 物体Pが再びx=0の位置に戻ってくるまでの時間を求めよ。

　(3) 台Qを自由に動けるようにした。台Qが静止してる時、x=2dの位置にある物体Pに右向きの
　　初速を与えた所、PはQに対して周期運動をおこない、Pのx座標の最大値はx=4dとなった。
　　(a) 物体Pに与えた初速を求めよ。
　　(b) 物体Pのx座標の最小値を求めよ。
　　(c) 物体Pに与えた初速をv₀、運動の周期をT₀とする。一周期間での台Qの右向きの変位を
　　　v₀、T₀を用いて表せ。



3.　解

　(1) ゴムひもが自然長の時、その左端の位置(x=0からの)をLとすると、釣合の式から
　　k2d=2k(L-2d)、したがって、
　　　　　L=3d　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・①
　　Pの運動方程式は
　　　　　mx''=-kx+2k(L-x)=-3kx+6kd (x<L=3d)・・・・②
　　　　　mx''=-kx (x>L=3d)　　　　　　　　　　・・・・③
　　設定から、振動は x<L=3d なので➁を満たす。この解はよく知られており角周波数は
　　　　　w=√(3k/m)　　　　　　　　　　　　　・・・・・④
　　となる。したがって、周期は
　　　　　T=2π/w=2π√(m/3k)
　　となる。

　(2)(a)
　　②は mx''=-3k(x-2d) と変形できて、これを解くと、x=2d+Acoswt+Bsinwt となる。 
　　x(0)=x'(0)=0 として
　　　　　x=2d(1-coswt) , v=x'=2dw sinwt　　・・・・・⑤
　　を得る。

　　Pの最大速度v₁は、wt=π/2の時で、⑤から　x=2d (<L=3d)
　　　　　v₁=2dw={2√(3k/m)}d
　　を得る。

　(b)
　　最大の座標 x₂は ⑤から、x=4d となる。つまり、ゴムひもは垂るみ、②の条件を満たさ
　　ず、③を解かねばならない。そこで、境界、x=3dの速度v₂は⑤から
　　　　　3d=2d(1-coswt) → coswt=-1/2 → wt=π/3・・・・⑥
　　　　　v₂=2dwsin(π/3)=dw√3={3√(k/m)}d
　　となる。

　　時刻をt=0にして、③を解くと
　　　　　x=Acosw't+Bsinw't , w'=√(k/m)
　　となるが、⑥の結果の初期条件　　　　
　　　　　x(0)=3d , x'(0)=v₂={3√(k/m)}d
　　から、A=B=3d となり
　　　　　x=3d(cosw't+sinw't)=(3√2)d cos(w't-π/4) ・・・・⑦
　　を得る。したがって、最大座標は x₂=(3√2)d , w' t=π/4 となる。

　(c)
　　ゴム紐がたるんだ時、x≧L=3dでの往復時間は、⑦で、x≧3d となる時間だから、
　　w' t=π/4 を挟んだ w' t=0~π/2 の間である。つまり、その時間T'は
　　　　　T'=π/(2w')=(π/2)√(m/k)
　　となる。

　　つぎに、ゴム紐がたるんでいないときの⑤の 0≦x≦L=3d の運動時間は⑥から
　　t=(π/3)/w=(π/3)√(m/3k)となる。原点に戻る時間を加えるとこの2倍になるから、
　　上のT'を足して、求める時間T₃は
　　　　　T₃=(π/2)√(m/k)+2(π/3)√(m/3k)=(π/2)√(m/k){1+4/(3√3)}
　　となる。

　(3)(a)
　　初速をv₀とする。始めのバネとゴムのエネルギーは k(2d)²/2=2kd², 2k(L-2d)²/2=kd²
　　また、mが 4dで停止したとき（ゴムはたるんでいる）、Mとmの速度は同じだから、運動
　　量保存により
　　　　(M+m)v=mv₀ → v=mv₀/(M+m)・・・・・・⑧
　　となる。エネルギー保存から
　　　　2kd²+kd²+mv₀²/2=k(4d)²/2+(M+m)v²/2=8kd²+{m²/(M+m)}v₀²/2・・・⑨
　　　　v₀=[√{10k(M+m)/mM}]d={√(10k/μ)}d・・・・⑩
　　ここで、μは換算質量
　　　　μ=mM/(m+M)
　　である。

　(b)
　　Pの最小座標xは反対方向で、M,mの速度が等しくなったところだから、エネルギー保存は
　　⑨の右辺を変更して
　　　　2kd²+kd²+mv₀²/2=kx²/2+2k(3d-x)²/2+(M+m)v²/2
　　⑧⑩を使って整理すると
　　　　(3/2)x²-6dx+d²=0 → x={2-√(10/3)}d (小さい方を取る)
　　となる。

　(c)
　　地べたの慣性系を基準にすると、mと台の座標をそれぞれx,yとする。すると運動量保存に
　　より、
　　　　mx'+My'=mv₀、積分して、mx+My=mv₀t → (mx+My)/(m+M)=mv₀t/(m+M)
　　この左辺はm,Mの重心の座標と等距離にある座標である。つまり、重心の座標は等速運動
　　をする。mの運動の1周期T₀をとれば、その分の変位は合計0となる。したがって、T₀の間
　　に台が移動する距離は
　　　　mv₀T₀/(m+M)
　　となる。

以上

バネばかりに落下した物体が次の反動で浮き上がる条件

1.　まえがき

　下記の問題が載っていた。はじめ、問題の意図や意味も汲み取れなかった。

2.　問題

　図のように質量の無視できるバネの下端が床に固定され、上端は水平に保たれた固くて厚さの無
　視できる薄い板（質量2m）の重心に取り付けられている。この時、バネの自然の長さからd縮ん
　で静止した。この時の板の位置を最初の釣合の位置とする。板の重心鉛直上方の高さHの位置か
　ら大きさの無視できる小物体（質量m）を初速度なしで落とし、板に衝突させた。衝突後小物体
　は跳ね返らずに板と一体になって動き始め、床に到達する前に最も低くなる位置に到達した。そ
　の後、ともに鉛直上向きに運動してから、小物体は板から離れ、鉛直上方に飛び出た。バネは鉛
　直方向にのみ伸び縮みし、バネ定数は一定であり、空気の抵抗は無視できるものとする。重力加
　速度の大きさをgとし、以下の問に答えなさい。

　問　衝突後、小物体がバネの運動により、板から離れて飛び出るために必要な高さHを求めよ。

3.　解法

　始め意味が分からなかったのは幾つかの不明点があった。

　・　小物体が離れることの意味・・・・離れる条件として、バネは単振動をしており、最大上部
　　　に達したとき、下向きに最大（最小？）の加速度をもちます。この加速度が -g より小さけ
　　　れば、mの -gによる落下は、2mの台の下降についていけず、浮き上がる。という方針で計
　　　算した。
　・　板と小物体の衝突の条件・・・・運動量保存則がなりたつ。
　・　バネ定数が与えられていない・・・板の質量2mと初めの静止位置dから求まる。

　3.1　条件定数の計算

　　まず、2mとバネの釣合で、
　　　　kd=2mg → k=2mg/d・・・・・・①
　　とバネ定数がわかる。

　　mと2mの衝突で運動量保存が成り立つと仮定すれば、mの衝突前の速度は落下の位置エネルギ
　　ーに相当するので -√(2gH) だから、衝突後の(m+2m)の速度v₀は
　　　　-m√(2gH)=3mv₀ → v₀=-(√(2gH))/3・・・・・②

　3.2　運動方程式

　　運動方程式は上下方向を y軸に取って
　　　　3my''=-ky-3mg → y=-3mg/k+Acos wt+Bsin wt 、w=√(k/3m)・・・・・・③
　　　　y(0)=-d , y'(0)=v₀
　　だから
　　　　y=-3mg/k+(3mg/k-d)cos wt +(v₀/w)sin wt
　　したがって、
　　　　y''=-w²{(3mg/k-d)cos wt +(v₀/w)sin wt}

　　この最上部の加速度は cos/sin の係数の2乗和の平方根 -w²√{(3mg/k-d)²+(v₀/w)²} であ
　　り、これが、-gより小さければ浮き上がる。
　　　　-w²√{(3mg/k-d)²+(v₀/w)²}<-g・・・・・④

　　ここで、①②③を使って
　　　　(3mg/k-d)²=(3d/2-d)²=d²/4 , (v₀/w)²=(2gH/9)3m/k=(2gH/9)3d/(2g)=Hd/3
　　　　w²=k/3m=2g/(3d)

　　これを④に入れて
　　　　(2g/3d)√(d²/4+Hd/3)>g → d²/4+Hd/3>(9d²/4g²)g² → H/3>9d/4-d/4=2d
　　　　　→ H>6d
　　を得る。

4.　別解

　別解としてエネルギーを使った解法があった、計算は簡単で結果も一致する。バネが自然長に
　なったところでエネルギーの比較しているのだが、回りくどく、ゴチャゴチャしてハッキリし
　ない。さらに、小物体が離れる論理がどうもわからない。

　手順が簡単で結果も一致するので、なんとか考えた結果、以下のように理解できた。結局、離
　れる論理は上のものと同じ、「バネの最上部での加速度が -gより小さくなればよい」となる。

　すると上の運動方程式③で y''=-g とすると、y=0、つまり、バネの自然長のとき、-g となる。
　したがって、この自然長以上の振幅になればmは離れることになる。この時は、速度が0で、バ
　ネも自然長だから、位置エネルギーしかない。

　位置エネルギーの基準を始めの釣合位置、y=-d にすると、この自然長でのエネルギーは位置
　エネルギーのみで、
　　　3mgd　　・・・・・・・・・・⑤
　となる。衝突直後のエネルギーはバネのエネルギー
　　　kd²/2=mgd　　　　・・・・・⑥　（①式を代入）
　と、(m+2m)は②式の速度を持つから運動エネルギー 
　　　(3m)v₀²/2=mgH/3・・・・・⑦
　の和となる。結局、エネルギーが保存によって、⑥+⑦のエネルギーによって、最上部に達す
　る。そして、このエネルギーが⑤より大きければ、バネの自然長を超え、バネが縮むとき、-g
　より小さくなって、小物体は浮き上がる。つまり
　　　mgd+mgH/3>3mgd → H>6d
　となる。

以上

回転座標系のベクトル時間微分 dA/dt=δA'/δt+ω×A の意味

１．まえがき

　慣性系S(x,y,z)と回転座標系S'(x',y',z')について、ベクトルAおよび角速度ベクトルωを使って
　　　　dA/dt=δA'/δt+ω×A　　　・・・・・・・・・・・・・・①
　という時間微分の関係式がある。しかし、この式が一般に図を使って導かれることからAやωが
　一体どの慣性系の量であるか明確でない。さらに、δ/δt（d'/dt, (d/dt)' とか）という記号の意
　味も明確でない。

　これらについて考察するが、簡単のため、S、S'系の原点が一致する場合とする。なお、δ(d')は
　変分・解析力学や熱力学でも不明確なまま使用されている。



２．ベクトルの時間微分

　慣性系SのベクトルAは基本単位ベクトル(e_x,e_y,e_z)を使って、
　　　　A=A_xe_x+A_ye_y+A_ze_z・・・・・・・・・・・・・・②
　と書ける。このベクトルAは回転系の基本単位ベクトル(e_x',e_y',e_z')を使って、
　　　　A=A'=A_x'e_x'+A_y'e_y'+A_z'e_z'　　・・・・・・・・・・・・・・③
　となる。ここで、「'」は基底ベクトルを明示する記号となる。

　このベクトルの時間微分は
　　　　dA/dt=dA'/dt={(dA_x'/dt)e_x'+(dA_y'/dt)e_y'+(dA_z'/dt)e_z'}
　　　　　　　　　　　　+A_x'de_x'/dt+A_y'de_y'/dt+A_z'de_z'/dt・・・・・④
　となる。このとき、S'系の基本ベクトルの微分もS'系のベクトルとして
　　　　de_i'/dt=ω_ix'e_x'+ω_iy'e_y'+ω_iz'e_z' (i=x,y,z)　・・・・・・・・・⑤
　と表される。このとき、直交関係 e_i'・e_j'=δ_ij (i,j=x,y,z)を微分すると
　(de_i'/dt)・e_j'+e_i'・(de_j'/dt)=0 が得られので
　　　　ω_ii'=0 , ω_ij'=-ω_ji'
　の関係がある。つまり、ω_ij' のうち、有効なパラメータは3つであり、ω'を
　　　　ω'=ω_yz'e_x'+ω_zx'e_y'+ω_xy'e_z' 　　　　・・・・・・・・・・・⑥
　と定義すると、⑤は
　　　　de_i'/dt=ω'×e_i'　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑦
　となる。これを④に入れると
　　　　dA/dt=dA'/dt=δA'/δt+ω'×A'　　　　　　　　　　・・・・・⑧
　を得る。ここで
　　　　δA'/δt=(dA_x'/dt)e_x'+(dA_y'/dt)e_y'+(dA_z'/dt)e_z'　　・・・・・⑨
　であり、δ/δtは（時間微分に関係した）演算子であり、決して時間微分ではない。その意味
　をみると、S'系に固定してみた（基本単位ベクトルが時間変化しないと考えた）時の時間微
　分になっている。このため、時間微分のような演算子記号を使う意味がある。

　ベクトルω'はS'系の基本単位ベクトルを使っているが、S系のものを使ってもかまわない。
　それをωとすると ω=ω'であるから、上のA=A'も使って、⑧を書き換えると
　　　　dA/dt=dA'/dt=δA'/δt+ω×A　　　　　　　　　　・・・・・⑧'
　となる。ここで、定義⑨から δA'/δt→δA/δt とできないことを注意しておく。

　つぎに、ベクトルAは任意だから⑧において A→ωとすると
　　　　dω/dt=dω'/dt=δω'/δt+ω'×ω'=δω'/δt　・・・・・・・・・⑩
　となり、よく知られた結果を得る。このときωが定ベクトルならω'もそうなる。以上で表題
　の関係式が導出過程とともに求められた。

３．ωの物理的な意味

　以上の議論は数学的な形式論のため、元々形式的なω'における基底ベクトルを変えたωが何
　を意味しているか今一つはっきりしない。そこで、簡単のため、ωが一定、AをS'系に固定さ
　れた（S'系で一定の）ベクトルとしたとき、AのS系での挙動を調べる。すると　δA'/δt=0
　だから、⑧'は
　　　　dA/dt=ω×A　　　・・・・・・・⑩
　つぎに、図２のようにAをωに平行な成分A₁と垂直な成分A₂に分ける。つまり、A=A₁+A₂、
　ω×A₁=0 だから、⑩は　dA₁/dt+dA₂/dt=ω×A₂　となる。A₁の方向は変わらないので、
　dA₁/dt の方向もωとなる。そして、ω×A₂の方向はωに垂直な成分だけだから、dA₁/dt=0
　である。

　結局、⑩は dA₂/dt=ω×A₂ となる。 すると、これを使って
　　　　d(A₂・A₂)/dt=2A₂・dA₂/dt=2A₂・(ω×A₂)=2ω・(A₂×A₂)=0
　となり、A₂の大きさが変化しない。したがって、ベクトルA、すなわち、それが固定された
　S'系はS系に対して、角速度ωで回転していることがわかる。つまり、回転系S' におけるベ
　クトルω'の慣性系S系への射影ωはS系に対するS'系の角速度ベクトルとなり、逆もそうなる。

４．加速度の変換式

　回転座標の運動方程式を求めるため、加速度の変換をするとき⑧を使って A=r として２回
　微分すると
　　　　dr/dt=δr'/δt+ω'×r'
　　　　d²r/dt²=(d/dt)(δr'/δt+ω'×r')=(δ/δt)(δr'/δt+ω'×r')+ω'×(δr'/δt+ω'×r')
　　　　　　　  =δ²r'/δt²+δω'/δt×r'+ω'×δr'/δt+ω'×δr'/δt+ω'×(ω'×r')
　　　　　　　  =δ²r'/δt²+δω'/δt×r'+2ω'×δr'/δt+ω'×(ω'×r')　・・・・・⑪
　となる。ここで、δ/δt は、ベクトル(e_x',e_y',e_z')を定数とみた微分なので、通常のベクトル
　微分公式を使った。最後に、⑨と前に述べたように右辺の基本ベクトルを変換すれば
　　　　d²r/dt²=δ²r'/δt²+dω/dt×r+2ω×δr'/δt+ω×(ω×r)　・・・・・・⑪'
　となるが、異なる基底ベクトルが混在しているので⑧' 以上に注意が必要となる。

　簡単なのは、ωが一定の場合で、方向をz軸に取り、rがx-y平面にある場合である。このとき、
　dω/dt=0、 ω×(ω×r)=(ω・r)ω-ω²r=-ω²r となり、
　　　　d²r/dt²=δ²r'/δt²+2ω×δr'/δt-ω²r　・・・・・・・・・・・・・⑫
　を得る。勿論、右辺の最後のrは基本ベクトルを変更してr' でもよい。

　以上をまとめるとベクトル式において A, dA/dt は基底べクトルを変更して A ⇔ A', dA/dt
　⇔ dA'/dt としてもかまわないが、δA'/δt は基底ベクトルが固定されたものだから δA/δtに
　変更することはできない。 ただし、ωについては⑩が成立つ。

以上

２種類の力が働くときの質点の運動

1.　まえがき

　あるサイトに、次の２種類の力が働くときの質点の運動を求める問題があった。まともに
　解くと複雑だったがエネルギー式を使うとある程度簡単になった。

　位置ベクトルを r=(x,y,z) として、質点mに働く力が　F₁=ar , F₂=(b,0,0) のとき、原点
　にあった質点の速さが、t=0 で |r'(0)|=V であった。 しばらくして、質点の速さが 0に
　なった。この時のx座標、x₁を求めよ。ここで、a,b≠0 は定数で「'」は時間微分とする。

2. 計算

　　　r'=(x',y',z'), V=√{x'(0)²+y'(0)²+z'(0)²}
　　　mx''=ax+b, my''=ay, mz''=az
　となるが、x軸を回転して、y軸を(0,y'(0),z'(0))の方向に設定すれば

　　　x'(0)=Vx, y'(0)=Vy, z'(0)=0 , V=√(Vx²+Vy²)≠0・・・①
　としても一般性は失わない。

　すると、z(0)=0, z'(0)=0だから、z成分は変化せず無視でき、
　　　mx''=ax+b, my''=ay・・・・②
　を解けばよい。

　また、速さ|r'|=0は x'=y'=0 のことである。

3.

　②の前者に x'を掛けて積分すればエネルギー方程式
　　　(m/2)(x'²)'=(a/2)(x²)'+bx' ⇒ mx'²=ax²+2bx+C
　を得る。x(0)=0, x'(0)=Vx からCが決まり

　　　mx'²=ax²+2bx+mVx²・・・・③
　を得る。x'=0となるxは ax²+2bx+mVx²=0の解
　　　x₁={-b±√(b²-amVx²)}/a・・・・④

　同様に、➁の後者、yについては
　　　my'²=ay²+mVy² となるが、a>0のとき、y'=0 となるのは
　y=Vy=0 のときであり、y方向の運動は無い。・・・・⑤

4. a＜0 のとき

　②の後者、y の解は
　　　y=Acos(wt)+Bsin(wt) , w=√(-a/m)
　　　y'(0)=Vy、y(0)=0 から、y=(Vy/w)sin(wt)
　となる。つぎに

　②の前者、xの解は
　　　x=Acos(wt)+Bsin(wt)+C となるが、
　　　x(0)=0, x'(0)=Vx, mx''(0)=ax(0)+b=b
　から
　　　x=(b/mw²){1-cos(wt)}+(Vx/w)sin(wt)
　となる。

　したがって、|r'|=0 つまり、x'(t)=y'(t)=0 となるのは
　　　(b/mw)sin(wt)+Vxcos(wt)=0 , Vycos(wt)=0・・・⑥

　(a) Vy≠0 の時、
　　⑥の後者から cos(wt)=0であり、前者に入れると、Vx=0 の時も含め sin(wt)=0 となるが、
　　当然、これ満たすtはなく、x'=y'=0 となる時刻は無い（速さは0にならない）。

　(b) Vy=0 の時、
　　⑥の解は存在する。そして、常に、y'=0であり、yの運動は無く、V=|Vx|である。
　　この時は、④において、(b²-amVx²)>0 かつ √(b²-amVx²)>|b|
　　であり、Vxの符号と x₁の符号は一致するから（始めは、Vxの方向に移動する）

　　(b1) Vx>0 のとき、
　　　　　x₁={b+√(b²-amVx²)}/(-a) ＞0
　　(b2) Vx<0 のとき、
　　　　　x₁={b-√(b²-amVx²)}/(-a) ＜0

5. a＞0 のとき

　⑤により、この場合は、xの運動のみとなる。4項と同様に
　④において、b²＞amVx² が必要であり（これを満たさないと、x'=0 とならない）、かつ
　 √(b²-amVx²)＜|b| であり、Vxの符号と x₁の符号は一致するから（始めは、Vxの方向に
　移動する）

　(1) Vx＞0 のとき、
　　　b＜0 であり（b＞0のときは、x'=0とならない）、原点に近い方をとって、
　　　　　x₁={-b-√(b²-amVx²)}/a ＞0
　(2) Vx<0 のとき、
　　　b＞0 であり（b<0のときは、x'=0とならない）、原点に近い方をとって、
　　　　　x₁={-b+√(b²-amVx²)}/a <0
　(3) Vx=0のときは、
　　　t=0の始め以外、x'=0とならないことは自明。

6.

　以上まとめると a,b,V≠0 として

　(1) a＜0 のとき、Vy=0 が必要で
　　・ Vx＞0 のとき、x₁={b+√(b²-amVx²)}/(-a) ＞0
　　・ Vx＜0 のとき、x₁={b-√(b²-amVx²)}/(-a) ＜0

　(2) a＞0 のとき、Vy=0 かつ b²＞amVx² が必要で
　　・ Vx＞0 かつ b＜0 のとき、x₁={-b-√(b²-amVx²)}/a ＞0
　　・ Vx＜0 かつ b＞0 のとき、x₁={-b+√(b²-amVx²)}/a ＜0

　これ以外の条件では、x'=y'=0 にならない。

以上