今年も一関市博物館「和算に挑戦」の問題が公開されました。今年の問題も面白いです。私はすべて解けました。ヒント教示に応じるので、それを欲する方はコメント欄で質問してください。
完全解答は正解発表後に公開します。当初は最終的な答えを公開していましたが、答えの確認に応じる人が誰も現れず、正解の確証がないため、非公開としました。ただ、私の解答は正解の自信があるので、コメント欄であなたが得た答えを書いていただければ、私の答えと一致したかお教えしようと思います。各問の難度ですが、
初級
難易度 小中学生-標準、高校生以上-簡単
中級
難易度 中学生-簡単、高校生以上-簡単
上級
難易度 高校生-難、大学生以上-標準～やや難
となります。難易度は各教育課程の教科書や入試問題の難度を基準とし、私なりの主観評価で示しました。
今年の上級問題は過去4年で一番難しいと思います。初級、中級問題は演習量が少ない小中学生は少しだけ考えるかもしれませんが、それほど難しくないと思います。高校生以上には容易でしょう。
私は今年が最後の挑戦になるかもしれません。来年以降の解説作成はやらない可能性があります。そのため、今年の解説記事は皆さんの役に立てばよいと思います。
では、今年の挑戦者のみなさん、がんばってください。
※ 12月20日頃から「和算に挑戦 世界変動展望」などのキーワードでアクセスする人が増えています。この記事はよく読まれています。私のブログは挑戦者の間である程度有名なのだろうか？多くの人からとても必要とされていて嬉しいですね。これぞ私のブログの本懐。役に立っているようでよかったです。こんなにも必要とされているのをみると、今年が最後っていうのもなー。どうしようかなー、来年。
参考
[1] 一関市博物館 平成22年度和算に挑戦
投稿締め切り 2011年1月20日(消印有効)、表彰式・正解発表 2011年2月27日
[2] 平成22年度和算に挑戦の解答 2011.2.27
生徒に冬休みの任意宿題に出しますが、生徒より先に解いておきたいので頑張ります！
上級問題は過去4年の中で、一番難しいと思います。がんばってください。
結局、maximaで解くと43.1ぐらいの数値は出るのですが、それではまずいんでしょうね。もうちょっと調べてみます。
四次方程式の解の公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
右から２番目の円の半径と左から２番目の円の半径の比は出ましたが・・・
そうですか、和算に取り組むのはこれが最後なのですね。いつも先に解いていて偉いなあと思っていました。
さて、上級問題ですが、おっしゃる円の半径や三角形の各辺の長さは、全円の半径を使って表せます。それを求めるのは正しいです。
そこから先は・・・。解法によっては、上の方がいったような四次方程式が出てきます。上の長さが求まれば、たぶんそれはすぐ出せるでしょう。しかし、それは高校生には解けない方法です。
この問題は解くのに数学的センスも要求されるかもしれません。
答えから逆算するとk＝1.889ですが、さてどうやってkを求めたらいいのやら。
大きな直角三角形の斜辺、底辺、高さが与えられていないということはそれらがわからなくてもkの値は出せるということなのかしら？
自分には数学的センスが足りていないのかもしれません、トホホ・・・
全円の半径ではなく、直径ですね。また、私の解法ではその式は出てきませんでした。
上で述べたこと以上にヒントはありません。ただ、上で述べた方法は高校レベルでは手計算で解けない方法です。
高校レベルの解法なら、別な解法となるでしょう。それは・・・。
三角形の各辺をこのkおよび6.04を使って表現できたので、その後三平方で解こうとして、恐ろしい方程式になってしまい中断しております。
高校レベルの解法となると、やはり去年同様三角関数ですかね？！頑張ります。
本問はそこから先が難しい。多くの人は高校レベルの手計算解法が見つからないために苦労すると思います。
おっしゃったやり方等は、実際にやらなくても各辺の表示から高校レベルでは手計算で解けないと予想できるでしょう。そのあたりは、数学的センスの働かせどころです。
高校レベルの解法は、しばらく考えてみるとよいでしょう。