世界変動展望

私の日々思うことを書いたブログです。

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2粒子に崩壊する時は2粒子は一直線上に崩壊する

2016-11-15 00:07:00 | 物理学・数学

「2粒子に崩壊する時は2粒子は一直線上に崩壊する。」

崩壊後の粒子の運動量をP1P2とすると、運動量保存則により 0 = P1+P2. よって、P1= -P2。太字はベクトル表記。

簡単だなー。

しかし、これは崩壊前の粒子の運動量がゼロというのが前提。粒子が自由な状態だと基底状態は運動量ゼロ。それを前提にしているという事だろう。・・・という事は励起状態だと別なんですね。大学入試の物理の問題だと、そういう設定の問題は出ないと思いますが、現実に奇妙な現象が出てきたら前提を疑ってみるのは重要です。


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ピタゴラス数が無数にある事の証明

2016-11-15 00:00:05 | 物理学・数学

a2 + b2 = c2 を満たす正の整数の組み合わせをピタゴラス数という。例えば(3,4,5)、(5,12,13)など。ピタゴラス数は無数にある事が知られている。今回はその証明を紹介する。証明は自作。

[証明]

bを3以上の素数とする。

b2 = c2 - a2 = (c+a)(c-a) ・・・ (1)

a,c,b2は正の整数だから、c+a,c-aも正の整数で、c+a>c-a。bは素数だから、

c + a = b2  ・・・ (2)
c-a = 1    ・・・  (3)

(1)、(2)を解いて、

c = (b2+1) / 2 ・・・ (4)
a = (b2-1) / 2 ・・・ (5)

bは3以上の素数だからb2は奇数でb2+1とb2-1は偶数かつb2+1 > b2-1 ≧ 8。(4)、(5)よりa,cは正の整数。よって、(a,b,c) = ((m2-1) / 2 , m , (m2+1) / 2)(ただし、mは3以上の素数)はピタゴラス数。

[補足]より、3以上の素数は無数に存在するので、(a,b,c) = ((m2-1) / 2 , m , (m2+1) / 2)(ただし、mは3以上の素数)も無数に存在する。

[証明終了]

[補足] 素数の個数が有限だと仮定する。有限ならば最大値が存在し、それをpとする。

M = p ! + 1

とすると、M > p で M はp以下のすべての正の整数で割っても割り切れない正の整数。従ってMを割り切れる数はMと1だけで、Mは素数である。これはpが最大の素数である事に反する。

従って素数は無数に存在する。

[補足終了]

高1までの数学でも証明できる結構簡単な証明。

wikipediaによると

--

自然数の組 (a, b, c) が原始ピタゴラス数であるためには、ある自然数 m, n

  • mn は互いに素
  • m > n
  • mn奇数

を満たすとして、

(a, b, c) = (m2n2, 2mn, m2 + n2) or (2mn, m2n2, m2 + n2)

であることが必要十分である。上記の (m, n) は無数に存在し、2mn は重複しないから、原始ピタゴラス数は無数に存在する。

--
リンク先より

上の事を知っていれば中学生でも簡単に証明できるが、(a, b, c) = (m2n2, 2mn, m2 + n2)を自力で見つけることなく証明しても不十分な感じがして面白くない。そこで私は上のように考えたが、他にも証明方法があるだろう。

例えば

[証明]

(a,b,c)  =  ((n2-1) / 2 , n , (n2+1) / 2)  ・・・ (6)

とすると、

a2 + b2  = { (n2-1) / 2}2 + n2  =  {(n2+1) / 2}2  =  c2

よって(6)は三平方の定理を満たす。nが3以上の奇数の時、(6)は正の整数だからピタゴラス数。3以上の奇数は無数にあるから、ピタゴラス数も無数に存在する。

[証明終了]

これは中学生でもできる証明。(6)さえ見つけてしまえば、ほとんど終わり。

なお、an + bn = cn (nは3以上の自然数)は正の整数解がない。これをフェルマーの最終定理といって、350年以上証明されずA.ワイルズが証明に成功した事は有名。もっと簡単な証明が発見されるとよい。

よく、一般の人が「こんなの証明して何が面白いの?」、「こんなの証明して何の役に立つの?」というが、数学は漫才やバラエティ番組などのように大衆受けする通俗的な面白さを追求する学問でないし、企業が行う営利目的の研究開発でない。

数学や物理学の発展が現代社会の繁栄に大きく貢献した事を考えれば、自然科学の研究成果は将来的に大きく役立つだろう。


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abcd=a+b+c+dを満たす正の整数a,b,c,dをすべて求めよ。

2016-10-11 00:00:05 | 物理学・数学

問題

abcd=a+b+c+dを満たす正の整数a,b,c,dをすべて求めよ。

[1991年 東京女子大学]

[解答]

与式は文字の入れ替えについて対称だから、解の要素を入れ替えたものも解になる。そのためa≦b≦c≦dである解も存在する。この解を考える。

abcd=a+b+c+d≦4d=d+d+d+d

1≦abc≦4

これより、あり得るのは(a,b,c)=(1,1,1)、(1,1,2)、(1,1,3)、(1,1,4)、(1,2,2)

(a,b,c)=(1,1,1)の時は、d = 3+dより、0=3となるから不適。
(a,b,c)=(1,1,2)の時は、2d = 4 + d より d = 4。
(a,b,c)=(1,1,3)の時は、3d = 5 + d より d = 5/2 だから不適。
(a,b,c)=(1,1,4)の時は、4d = 6 + d より  d = 2、d < c だから検討中の解としては不適。
(a,b,c)=(1,2,2)の時は、4d = 5 + d より d = 5/3 だから不適。

よって(a,b,c,d)=(1,1,2,4)。この解の要素を入れ替えたものも解になるから、全部で4! / 2! = 12通り存在し、以下が解である。

(1,1,2,4)、(1,1,4,2)、(1,2,1,4)、(1,2,4,1)、(1,4,1,2)、(1,4,2,1)、(2,1,1,4)、(2,1,4,1)、(2,4,1,1)、(4,1,1,2)、(4,1,2,1)、(4,2,1,1) ・・・ (答)

[解答終了]

簡単ですね。あっさり解けてしまいました。

解法の方針としては「abcd=a+b+c+dを満たす正の整数」という条件だけでは解を絞り込めないので、制限を加える必要があります。この式が文字の入れ替えについて対称なので、a≦b≦c≦dという制限を加えて検討すると簡単です。これがポイントですね。

同じ問題の解説をみると、a≦b≦c≦dという制限を加えてもよい理由がわからないという意見を見ました。ネット上の他の解説でもその理由を説明してあるものがありませんでした。単に「仮にa≦b≦c≦dという解を考える。」という一言だけで、解答を進めているものばかりでした。

確かに正解になるのでしょうが、なぜa≦b≦c≦dという解を考えてよいのか説明しないと本当に理解しているのか伝わらないし、わからない人向けの解説としては理由をきちんと書いた方が適切です。「解がa≦b≦c≦dとなる保障がどこにあるんだ?a≦b≦c≦dとなっていない可能性だって十分考えられるぞ!」と疑問に思った人がいるんじゃないでしょうか。

簡単な理由なので、上の解答のように1,2行簡潔に理由を書けば、きちんと理解している事を示せて適切だと思います。

文字の入れ替えについて対称というのは文字を入れ替えても式の意味が変わらないという事です。与式はabcd = a+b+c+dで、例えばaとbを入れ替えても、bacd=b+a+c+dになり、入れ替える前と同等です。だから、仮に(a,b,c,d)=(1,3,7,2)が解だったとするとa,bを入れ替えても同等だから(a,b,c,d)=(3,1,7,2)も解になります。だから、解の要素を入れ替えたものも解になるため、a≦b≦c≦dとなるように要素を入れ替えたものも解になります。解答しやすくするため、まずその状態を検討するという工夫です。

わかりましたか?

中には理解せず「仮にa≦b≦c≦dという解を考える。」としてしまった人もいるようですが、数学的根拠なく解答するのは不正解になるおそれがあり不適切です。少なくとも科学としては非常にまずいです。前に「ルート3が無理数になる事を証明せよ.」という問題の解説で、「√3 = p / q とおく。p,q は互いに素であるとしてよい。」という部分を根拠を理解する事なく覚えて解こうとする人が何人かいる事を紹介しましたが、それと似たような事かもしれません。きちんと根拠に基づき、理解して解く事が重要です。

私は上のように解答しましたが、他にも解法はあると思います。

例えば次のような解法もあります。

[別解]

与式は文字の入れ替えについて対称だから、解の要素を入れ替えたものも解になる。そのためa≦b≦c≦dである解も存在する。この解を考える。

1≦a≦b≦c≦dより、abcd=a+b+c+d≦4dから a3≦abc≦4。よってa=1。

bcd=1+b+c+d≦4dからから、b2≦bc≦4より、b=1又は2。

(i) b = 1のとき

cd = 2 + c + d
cd - c - d = 2
(c-1)(d-1) = 3

c, d は c≦dである正の整数だから、c - 1 = 1, d - 1 = 3。よって c = 2, d = 4。

以上から、(a,b,c,d) = (1,1,2,4)

(ii) b = 2のとき

2cd = 3 + c + d
4cd - 2c - 2d = 6
(2c - 1)(2d - 1) = 7

c, d は c≦dである正の整数だから、2c - 1 = 1, 2d - 1 = 7。
よって c = 1, d = 4。b > c だから検討中の解としては不適。

(i)、(ii)より (a,b,c,d) = (1,1,2,4)の要素を入れ替えたものが解。

以上より、

(1,1,2,4)、(1,1,4,2)、(1,2,1,4)、(1,2,4,1)、(1,4,1,2)、(1,4,2,1)、(2,1,1,4)、(2,1,4,1)、(2,4,1,1)、(4,1,1,2)、(4,1,2,1)、(4,2,1,1) ・・・ (答)

[解答終了]

実に簡単ですねー。みなさんあっさり解けたでしょう。ここまで詳しく解説するとくどいかなー。解説だからいいと思う。


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ニュートリノもCP対称性破れか?

2016-08-08 00:00:00 | 物理学・数学

ニュートリノでもCP対称性が破れている可能性がある事がわかったという。CPT対称性の破れが見つかると非常に面白いので、それが見つかってほしいと思う。CPT対称性の破れは特殊相対性理論の破れでもあるので。見つかったらすごい事になる。ノーベル物理学賞確実。


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簡単な数学の問題、自力でわかる?

2016-06-29 21:01:00 | 物理学・数学

ずっと前から数学ブームなの?ではこんな問題をやってみますか?簡単な問題ですよ。調べず自力でわかりますか?たぶんほとんどの人がわかると思いますね。

「三角形の各辺の垂直二等分線が1点で交わる事を証明せよ。」

ネットで調べれば答えが載ってますが、簡単な問題なのでぜひ自力でやってみてください。昔アインシュタインの漫画を見た時に、少女にアインシュタインが上の事を述べて面白いと思うか尋ねたところ、少女は「はい。とても。」と答えた。

私はこれも数学の面白さの一つかもしれないと思った。三角形はどの角も180度未満だから二辺の垂直二等分線は平行にならないので交わるのは当たり前だけど、残りの1辺の垂直二等分線も同じ点で交わるのは不思議だな~というところが面白いと思います。

これも偶然ではなく必然で、きちんと理由があります。それを解き明かすのが数学、ひいては科学の面白さですね。


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